«Είτε αγνοείς τα θεωρήματα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

(Αυτή η ανάρτηση είναι συνέχεια μίας άλλης υπό τον τίτλο: «Το τρίγωνο που ...κατεδαφίστηκε.». Εκεί, ετέθη ένα τεχνικό πρόβλημα και, εδώ, περιγράφεται η λύση του. Όσοι θέλουν να ...επιδοθούν εις την εύρεσή της, ας αρχίσουν απ΄ εκεί... Όσοι θέλουν να το δούν ως ...σχολική άσκηση μπορούν να μεταβούν εις το τέλος της ανάρτησης, εδώ. Όσοι δυσκολευτούν εις την ανάγνωση του παρόντος, ίσως χρειάζεται, προηγουμένως, να κοιτάξουν την ανάτρηση υπό τον τίτλο: «Αρμονική Σημειοσειρά και Θεωρήματα των Διχοτόμων.» (υπό κατασκευήν). Αυτό, το τελευταίο, τίθεται εξ αιτίας των τεσσάρων πρώτων σημείων του σχολίου του MEGLIOGIOVENTU, εδώ: November 13, 2013 at 1:10 PM. Η παράλειψη του γράφοντος δικαιολογείται(;) από το γεγονός ότι η παρούσα ανάρτηση έχει συγκεκριμένους αποδέκτες διά τους οποίους, τα σχετικά θέματα, είναι γνωστά...)

Αυτός που είναι δύστροπος, είναι δύστροπος με όλους...

Ο λόγος περί του ξυλουργού του αφηγήματος (εις το “συζυγές” blog)...:

Όταν τον επεσκέφθη ο συνάδελφός του που αντιμετώπιζε το γνωστό πρόβλημα, αφού του το εξήγησε, του είπε:

Συνάδελφος: «Φταίω εγώ που τους είπα ότι δεν είμαι μάγος ...ή, κάτι τέτοιο.»

Ξυλουργός: «Χρησιμοποιείς, την άγνοια, ως δικαιολογία; Πάντως δεν ξέρω ποίο εκ των δύο είναι το φταίξιμό σου...»

Συνάδελφος: «Τί εννοείς;... Ποιά δύο;»

Ξυλουργός: «Είτε αγνοείς το θεώρημα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω τίποτε από αυτά... Αν και μου είπανε ότι, αυτό, το μεσαίο μπουλόνι είναι εκεί που, η διχοτόμος της γωνίας,... αυτής, απέναντι από το καντρόνι, “βρίσκει” το καδρόνι.»

Ξυλουργός: «Ξέρεις, τουλάχιστον πως το καδρόνι είναι οριζόντιο...: Αυτό, “μου λέει” η φωτογραφία... »

1η εικών:
Το εναπομείναν οριζόντιο τμήμα του ...“κατεδαφισθένος” τριγώνου.

Συνάδελφος: «Μάλιστα.»

Ξυλουργός: «Ξέρεις ότι αυτό εδώ, το ακραίο μπουλόνι... (και που δεν είναι, αυτό, στο μέσον του καδρονιού), είναι εκεί που, το ύψος, “βρίσκει” το καδρόνι;»

Συνάδελφος: «Ναι – μου το είπανε κι΄ αυτό...»

Ξυλουργός: «Άρα, ξέρεις ένα τόπο, πάνω στον οποίο είναι η κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ που θέλεις να βρεις.»

Συνάδελφος: «Μα, άμα ήξερα σε ποιό σημείο είναι το Α, δεν θα ερχόμουνα να σ΄ ερωτήσω...»

Ξυλουργός: «Δεν σου είπα να ξέρεις το σημείο... αλλά, ένα τόπο. Για φτιάξε ένα σχήμα... και βάλε και γράμματα, για να συνεννοούμεθα... Ή μάλλον όχι: Πάρε ένα πηχάκι... για να το κάνουμε χειροπιαστό.»

Μετ΄ ολίγον υπήρχε στο τραπέζι το πηχάκι που βλέπουμε:

2α εικών:
Το αντικείμενο της προηγουμένης εικόνος,

σε μία πρώτη φάση “γεωμετρικοποίησής” του.

Ξυλουργός: «Μπορείς να μου πεις που είναι το Α;»

Συνάδελφος: «Όόόχι... Το Α, μπορεί να είναι οπουδήποτε...»

Ο ξυλουργός αντέδρασε εντόνως:

Ξυλουργός: «Ψεύδεσαι... Εκτός και αν δεν γνωρίζεις ότι το ύψος ΑΗ, είναι ένα τμήμα ευθείας που ξεκινάει από το Α και φθάνει στο Η και ότι η γωνία που σχηματίζει με την ΒΓ είναι ορθή»

Συνάδελφος: «Το γνωρίζω... Αυτό όμως, πάει να πει ότι εάν κρεμάσουμε το “ζύγι” έτσι που η μύτη του να ακουμπάει στο Η, το Α, μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο επάνω στο κορδόνι του “ζυγιού”.»

Ξυλουργός: «Άλλο «οποιοδήποτε σημείο επάνω στο κορδόνι του “ζυγιού”» (εν όσω, αυτό, είναι κατακόρυφο) και άλλο «οπουδήποτε» (“σκέτο”) που είπες πριν...»

Μετά ταύτα είχαν ενώπιόν τους το σχήμα που ακολουθεί:

3η εικών:
Η κορυφή Α, του ...κατεδαφισθέντος τριγώνου
ευρίσκεται επί του ... κοδρονίου ενός  “ζυγίου”
του οποίου η αιχμή ταυτίζεται με το Η
(υποτιθεμένου ότι η ΒΓ είναι οριζοντία).

Ξυλουργός: «Τώρα πρέπει επάνω σε αυτήν την (ε) να βρούμε ένα σημείο Α τέτοιο ώστε η ΑΔ να είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. –Έτσι δεν είναι;»

Ο άλλος, διετύπωσε την “εύκολη” ...“ξυλουργική”, λύση...:

Συνάδελφος: «Έ, θα παίρνουμε, επάνω στην (ε), σημεία, με την σειρά, και θα δοκιμάζουμε...»

Ξυλουργός: «Δεν έχεις κανένα πιο ...έξυπνο τρόπο;»

Συνάδελφος: «Χμμμ... Νομίζω πως ξέρω ένα... Αλλά, θέλει μηχανισμό... Είναι, μάλλον, “πατέντα”... –Μία, που την σκέφτηκα τώρα...»

Όταν ο ξυλουργός, ακούει για επινοήσεις... «ανοίγει η καρδιά του»...

Ξυλουργός: «Πες τον... μπορεί να έχει ενδιαφέρον...»

Συνάδελφος: «Είναι η μέθοδος της ...«πτυσσόμενης κρεμάστρας»... (ας την πούμε έτσι):»

...

Μετά από πολλά είχαν συνεννοηθεί περί του τρόπου κατασκευής του μηχανισμού:

4η εικών:
Καθώς τρία σκέλη του μηχανισμού ανοιγοκλείνουν
ολισθαίνοντα “εντός” των περιστρεφομένων σημείων Β, Δ και Γ,
ο άξων συμμετρίας του μεσαίου είναι η διχοτόμος της γωνίας
που σχηματίζουν οι άξονες συμμετρίας των δύο ακραίων.
Όταν η αιχμή που ευρίσκεται εις την κορυφή του μηχανισμού
συναντήσει την διά του Η κάθετον επί την ΒΓ εις το σημείον Α,
τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ θα έχει ως ύψος το ΑΗ
και ως διχοτόμο της γωνίας ΒΑΓ την ΑΔ.

Μόλις ολοκληρώθηκε ο μηχανισμός (στη σκέψη τους και στα σκαριφήματά τους), ο ξυλουργός έβαλε, ξαφνικά, τα γέλια...:

Ξυλουργός: «Ρε συ, εάν μία τέτοια επινοητικότητα την είχαν και αυτοί που έχουν και τις γνώσεις...»

Αποτόμως σοβαρεύτηκε:

Ξυλουργός: «Εσύ όμως, τις γνώσεις, μπορείς να τις αποκτήσεις... Και όχι, να φτιάχνεις ...ένα κανόνι, για ...να σκοτώσεις ένα κουνούπι, όπως έκαμες, τώρα δα... Κάτσε, λοιπόν, να σου πω, ορισμένα πράγματα...:» 

Ο άλλος, αντέδρασε κάπως έτσι:

Συνάδελφος: «Δεν θέλω να μου πεις «ορισμένα πράγματα»... Θέλω να μου πεις την λύση: Πόσο είναι το μήκος των πλευρών που πρέπει να προσθέσω... για να ξαναφτιάξω το τρίγωνο.»

Ξυλουργός: «Δεν μου αρέσουν οι “τζαμπατζήδες”...»

Συνάδελφος: «Μήπως θέλεις ...να σε πληρώσω;»

Ξυλουργός: «Όχι να με ...«πληρώσεις» αλλά, αν εκ/πληρώσεις την υποχρέωση που έχεις, να γνωρίζεις αυτά που θα χρησιμοποιήσεις...»

Ο άλλος αντέδρασε κάπως... ειρωνικεπιθετικώς:

Συνάδελφος: «Άκουσε μάστορα,... Δεν είμαστε όλοι... έξυπνοι σαν και 'σένα...»

Ξυλουργός: «Έξυπνος είναι αυτός που κάμνει, τον άλλον, εξυπνότερο (και, βλάξ, εκείνος που τον κάμνει βλακίστερο)... Μη με αποκαλείς «έξυπνο» όταν με εμποδίζεις να ασκήσω την “εξυπνάδα” μου.»

Συνάδελφος: «Έξυπνοι, δηλαδή, είναι οι ...“ευεργέτες”;»

Ξυλουργός: «Χμμμ... δεν ξεύρω. Πάντως, είναι εντελώς “ιδιοτελείς” (έχουν ίδιον τέλος, σκοπό): Έτσι όπως την όρισα, η εξυπνάδα, είναι (αντ)αποδοτική... –Αλλ΄ ας τ΄ αφήσουμε αυτά:

Βλέπεις το τρίγωνο που έφτιαξα; Θα μπορούσε να ήταν κάπως έτσι το ζητούμενο... εάν, η βάση του, έμοιαζε με εκείνη πού μου έδειξες;»

Συνάδελφος: «Ναι, βέβαια...»

Ξυλουργός: «Λοιπόν, ας αναλύσουμε αυτό εδώ το τρίγωνο... και ας δούμε αν τα συμπεράσματα που θα βγάλουμε είναι κατάλληλα και για εκείνο που ζητάμε: Θυμάσαι που είχαμε “κολλήσει”;»

5η εικών:

Τα τρίγωνο αυτό, θα μπορούσε να ήταν το ζητούμενο,

εάν η βάση του ήταν εκείνη που

είχε απομείνει από το “κατεδαφισμένο”.

Ο συνάδελφος του ξυλουργού, κοίταξε το σχήμα και είπε:

Συνάδελφος: «Θέλουμε, το Α, που είναι επάνω στην (ε) να είναι τέτοιο ώστε η ΑΔ να είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. Αυτό όμως, πρέπει να ισχύει για 'κείνο, το τρίγωνο που ζητάμε... Όχι γι΄ αυτό εδώ, που... πρώτα το έφτιαξες και μετά πήρες την διχοτόμο της γωνίας του...»

Ξυλουργός: «Καλά,... καλά...: Αλλά, πες μου: Αυτή η διχοτόμος, η ΑΔ, έχει κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά,... δηλαδή, χαρακτηριστικά, εξ αιτίας του γεγονότος ότι είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ.»

Ο άλλος, απήντησε με μία ...ταυτολογία.

Συνάδελφος: «Ε, κάνει τις γωνίες ΒΑΔ και ΔΑΒ, ίσες...»

Ξυλουργός: «Άλλο;»

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω...»

Ξυλουργός: «Πάντως, εάν βρούμε και άλλα χαρακτηριστικά, αυτά, θα τα έχει μόνον τούτη 'δω ή, θα τα έχει και η άλλη, η διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου που ζητάμε;»

Συνάδελφος: «Θα τα έχει και η άλλη,... εκτός και αν, αυτό το τρίγωνο, εδώ, είναι ειδικό...»

Ξυλουργός: «Δεν είναι ειδικό: Είναι ένα τρίγωνο σκαληνό... δηλαδή, “κουτσό” – όχι ισοσκελές... ούτε και ισόπλευρο (που είναι – και αυτό – ισοσκελές).»

Συνάδελφος: «Είχα ακούσει την λέξη «σκαληνό» αλλά δεν ήξερα ότι σημαίνει «κουτσό»... Δηλαδή, τα τρίγωνα που δεν έχουν ίσα σκέλη, είναι “κουτσά”... πολύ απλό... για φαντάσου...»

Ξυλουργός: «Τα μαθηματικά είναι πιο εύκολα γι΄ αυτούς που γνωρίζουν ελληνικά...»

Συνάδελφος: «...»

Ξυλουργός: «Ας προσπαθήσουμε, τώρα, να δούμε ποιές άλλες σχέσεις μπορεί να έχει η ΑΔ με τα λοιπά στοιχεία του τριγώνου ΑΒΓ... Ποία από αυτά λες να θεωρήσουμε πρώτα;»

Συνάδελφος: «Μήπως, τις πλευρές;»

Ξυλουργός: «Ποιές πλευρές;»

Ο άλλος παρετήρησε και είπε:

Συνάδελφος: «Α, υπάρχουν δύο ειδών πλευρές: Αυτή, που η ΑΔ την τέμνει (η ΒΓ) και οι δύο άλλες... Εμείς, την ΒΓ, την έχουμε... Ας εξετάσουμε τις άλλες...»

Ξυλουργός: «Και τις άλλες τις τέμνει...: Στο Α.»

Συνάδελφος: «Έ, τότε, να το διορθώσω: Την ΒΓ δεν την τέμνει σε κάποιο άκρο της, ενώ τις άλλες, τις τέμνει στο ένα άκρο τους...»

Ξυλουργός: «Μπορείς να εξετάσεις τι γίνεται με το σημείο, το Α... Τί παρατηρείς;»

Συνάδελφος: «Χμμμ.... Παρατηρώ-παρατηρώ, αλλά, εκτός από τις ίσες γωνίες, δεν βλέπω τίποτε άλλο..»

Ξυλουργός: «Λοιπόν, μήπως πρέπει να εξετάσεις το τι γίνεται και με το άλλο άκρο των ΑΒ και ΑΓ;»

Συνάδελφος: «Ναι, ίσως,... αλλά, δεν ξέρω τι να κάνω. Πώς να τα συνδέσω...»

Ξυλουργός: «Όταν λες «να τα συνδέσεις»... τί εννοείς; Κάτι, άλλο, μήπως, από αυτό που δηλώνει η λέξη: Δηλαδή, να τα συν δέσεις...»

Συνάδελφος: «Τώρα που το λες, αυτό θα έπρεπε να εννοούσα... (καλά το είπες, αυτό, για ...τα ελληνικά).»

Ξυλουργός: «Πώς, λοιπόν, θα (συν) δέσεις το Β, και το Γ, επί (ή, μετα) της ΑΔ;»

Ο συνάδελφος του ξυλουργού, εσκέφθη και είπε:

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω... αλλά, μάλλον, ο τρόπος θα πρέπει να είναι όμοιος... Ας πούμε να πάρω ένα σημείο Ε της ΑΔ και να φέρω την ΒΕ και την ΓΕ...»

Ξυλουργός: «Μα, ένα τέτοιο σημείο, το έχεις: Είναι το Α.»

Ο ξυλουργός θέλησε να τον αποτρέψει από κάποιον παρόμοιο τρόπο... Αυτό, διότι η απόδειξη που ήξερε, αυτός,... ήταν αλλοιώς:

6η εικών:

Τα γραμμοσκιασμένα τρίγωνα είναι όμοια.

Το αυτό, και τα έγχρωμα, και δη

με τον αυτό λόγο ομοιότητος. ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Άρα, ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ.

Παρά την προσπάθεια του ξυλουργού, ο άλλος δεν εκάμφθη:

Συνάδελφος: «Ε, ας πάρω και ένα άλλο σημείο επάνω στην ΑΔ, το Ε, να δω τι γίνεται...»

Ο ξυλουργός δεν κρατήθηκε:

Ξυλουργός: «Αυτό, το Ε, πού θα το βρεις (επάνω στην ΑΔ); Μήπως εκεί που (π.χ.) την τέμνει η δια του Β κάθετος επ΄ αυτήν;»

Είναι προφανές ότι “το πήγαινε” στο δικό του:

Ο συνάδελφός του είχε άλλη γνώμη (δεν ήξερε, βεβαίως, και εκείνα που, ο άλλος, δεν ήθελε να του “μαρτυρήσει”...):

Συνάδελφος: «Όόόχι... Εγώ, λέω... – λέω,... τώρα – να βάλω τον διαβήτη (την μύτη του) στο σημείο Β και να κάνω ένα κύκλο ΒΑ... δηλαδή, αυτή να είναι η ακτίνα. Το Ε που θα βρω, μ΄ αυτόν τον τρόπο (επάνω στην ΑΔ), μου φαίνεται πολυ βολικό...»

Ξυλουργός: «Κάμε το.»

7η εικών:

Το έγχρωμο τρίγωνο είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΒΕ), άρα:
τα γραμμοσκιασμένα τρίγωνα είναι όμοια.
Επομένως: ΕΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ, ήτοι: ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ (ΑΒ = ΒΕ).
.

Από την στιγμή που ο συνάδελφος του ξυλουργού διεπίστωσε πως οι γωνίες ΒΑΕ και ΒΕΑ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΕ είναι ίσες, μέχρι που να φθάσει εις την απόδειξη της σχέσης ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ, μεσολάβησε τόση συνομιλία, που θα εξαντλούσε την υπομονή παντός αναγνώστου (άλλο, αυτοί οι δύο που την διεξήγαγον). Ταχύτερα έγινε η απόδειξη της σχέσης ΑΒ/ΑΓ = ΑΔ΄/Δ΄Γ όπου Δ΄ το (αμετάβλητο, όπως απεδείχθη) σημείο εις το οποίο τέμνει την ΒΓ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ...

Το γεγονός ότι η ΑΔ΄ είναι κάθετος προς την ΑΔ, απεδείχθη ταχύτατα και, εξ αυτού...:

«Α», έκαμε ο “μαθητής”: «Τώρα, θυμήθηκα κάτι που λέμε: Το σημείο Α βλέπει το σταθερό τμήμα Δ΄Δ υπό γωνία ορθή...»

«Το σημείο Α, δεν «βλέπει». Εμείς, βλέπουμε από του σημείου Α... Τώρα, μπορείς να μου πεις που ευρίσκεται το Α;»

8η εικών:

Ο κύκλος διαμέτρου Δ΄Δ είναι ο γεωμετρικός τόπος

των σημείων Μ από τα οποία

το Δ΄Δ φαίνεται υπό γωνία ορθή
Ο αυτός κύκλος είναι και ο γεωμετρικός τόπος
των σημείων Μ διά τα οποία ο λόγος λ = ΜΒ/ΜΓ, είναι σταθερός.

Αυτό, ήταν εύκολο:

«Επάνω σε ένα κύκλο διαμέτρου Δ΄Δ. – μόλις το είπαμε...»

«Θυμάσαι και που, αλλού, ευρίσκετο;»

«Ναι: Επάνω εις την κάθετο επί την ΒΓ,... την κάθετο που ξεκινάει από το Η... την (ε).»

«Τώρα, μπορείς να πεις με βεβαιότητα ποίο είναι το σημείο Α;»

«Ναι, είναι η τομή... δηλαδή, οι δύο τομές του κύκλου και της ευθείας που είπαμε.»

Ο ξυλουργός είχε μία τελευταία ερώτηση:

«Και τώρα, πες μου: Αυτό, διά να το βρεις, έπρεπε να ήσουν ...μάγος;»

Ο άλλος απεφθέγχθη:

«Μάγος είναι εκείνος που ξέρει αυτά που δεν ξέρουν οι άλλοι...»

Το πρόβλημα, ως σχολική άσκηση:

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ δεδομένων των σημείων Β, Γ, Η, Δ όπου Η και Δ οι πόδες του διά του Α ύψους του και της διχοτόμου της γωνίας ΒΑΓ, αντιστοίχως.

Λύσις Α:

Α1: Αφού το Η είναι ο πούς του διά του Α ύψους, το Α (δεν μπορεί παρά να) κείται επί της (ε) διά του Η καθέτου επί την ΑΒ.

Α2: Επειδή οι διχοτόμοι (εσωτερική-εξωτερική) των γωνιών των τριγώνων τέμνονται καθέτως, το Α κείται επί ενός κύκλου διαμέτρου Δ΄Δ, όπου Δ΄ το σημείο εις το οποίο η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την ΒΓ. Αλλά, το Δ΄ είναι γνωστό διότι είναι το αρμονικό συζυγές του Δ ως προς τα Β και Γ.

Άρα, το Α ευρίσκεται ως τομή της (ε) και του κύκλου διαμέτρου Δ΄Δ.

Λύσις Β (ή, μάλλον, παρατήρηση επί της Α):

Β1: Το αυτό με το Α1.

Β2: Επειδή ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ το Α κείται επί του γεωμετρικού τόπου των σημείων διά τα οποία ισχύει αυτή η σχέση, Ο γεωμετρικός τόπος, αυτός, είναι ο κύκλος διαμέτρου Δ΄Δ.

Παρατήρηση:

Η λύσις αυτή (μάλλον) δεν μπορεί να προταθεί ως αυτόνομη, διότι προϋποθέτει την προηγουμένη. Άρα (μάλλον) μόνον ως παρατήρηση αυτής ευσταθεί.