Ορθή σχεδίαση μίας πυραμίδος.

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Πολλοί ερωτούν τι πρέπει να κάμουν διά να σχεδιάσουν μία σωστή πυραμίδα, όπως (π.χ.) αυτήν του Χέοπος. Μάλιστα, δε – επιμένουν – χωρίς την χρήση κάποιου ακριβού σχεδιαστικού “πακέτου”...: Ει, δυνατόν, με το “Paint”...

Το θέμα αυτό ευρίσκεται σε στενή συνάφεια προς τρία κεφάλαια του βιβλίου υπό τους τίτλους που αναγράφονται κατωτέρω. Όσα από αυτά, δεν έχουν αναρτηθεί, εισέτι, μπορείτε να τα δείτε υπό μορφήν PDF, εδώ (προσεχώς και,... λίαν συντόμως).

Α: «3. Η λιτότητα της γεωμετρίας.» (“Κλικάρετε”, εδώ.) Αυτό, σχετίζεται προς την δυνατότητα σχεδιασμού με μόνην την χρήσιν του “Paint”...

Β: «9. Υποχρεωτική και “προαιρετική”, ξυλουργική και μαθηματική ακρίβεια των σχημάτων.» (Δεν έχει αναρτηθεί εισέτι.) Αυτό, σχετίζεται με την ακρίβεια των σχημάτων.

Γ: «18. Η λύσις διά της “άρσεως” της πυραμίδος.» (Δεν έχει αναρτηθεί εισέτι.) Αυτό, σχετίζεται με την ...αν/ακρίβεια των σχημάτων (ή, με την αμέλεια που επέδειξε ο μικρός βοηθός του ξυλουργού κατά την κατασκευή ενός ομοιώματος της Πυραμίδος του Χέοπος...)

Σημείωση – παρατήρηση:

Αρκετοί από εμάς, έχουμε δει και, ορισμένοι, έχουμε παρατηρήσει ότι εις τις διάφορες απεικονίσεις της εν λόγω πυραμίδος υπάρχουν πολλά σχεδιαστικά σφάλματα. Δεν είναι ανάγκη να τα παρουσιάσουμε ή, και να εξηγήσουμε το διά τί συμβαίνουν, διότι θα απομακρυνθούμε πολύ από το θέμα. Αρκούμεθα εις το γεγονός ότι φαίνονται...

...

Μία πολύ απλή λύση:

Η απάντησή μας αρχίζει με την πλέον απλή λύση, μία λύση η οποία, όντως, θα πραγματοποιηθεί με μόνη την χρήση του “Paint”:

Θα μετατρέψουμε σε σχέδιο μία (αερο)φωτογραφία που μας ικανοποιεί, π.χ., αυτήν που υπάρχει εις την wikipedia:

1η εικών:

Οι πυραμίδες της Γκίζας.

Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/Pyramid

Ας δούμε τα βήματα του τρόπου μετατροπής, της φωτογραφίας σε σχέδιο:

1ον βήμα:

Λαμβάνουμε την εικόνα (κατά προτίμηση κάποια μεγαλύτερη από αυτήν, εάν υπάρχει), αντιγράφουμε το μέρος που περιέχει την πυραμίδα και σχεδιάζουμε επάνω εις τις ακμές της, ευθείες γραμμές, δι΄ ενός διακριτού χρώματος – εδώ, γαλάζιου – όπως φαίνεται εις την εικόνα που ακολουθεί:

2α εικών:

Επί των ακμών της πυραμίδος υπάρχουν διακριτές γραμμές.

(2ον βήμα ή,) παράλληλη μεταφορά;:

Εις το σημείο αυτό, μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα:  Το ένα είναι το 2ον βήμα και, το άλλο, η παράλληλη μεταφορά. Ας πούμε πρώτα περί αυτής και επανερχόμεθα:

Γράφουμε μία ευθεία γραμμή ΑΒ, την αντιγράφουμε και την επικολλούμε πολλαπλώς, κατά τρόπον ώστε το ένα άκρο της, έστω το Α, να ταυτιστεί τόσο με την κορυφή της πυραμίδος όσο και με τις ορατές κορυφές της βάσης της.

Καθ΄ εκάστην επικόλληση, το άκρο “Β” της επικολλημένης γραμμής είναι το ομόλογο του “Α” σε μία μεταφορά ΑΒ.

Όταν ολοκληρωθεί αυτό συνδέουμε τα σημεία “Β” όπως είναι συνδεδεμένα και τα σημεία “Α”.

 

3η εικών:

Παράλληλος μεταφορά της πυραμίδος σε ένα χώρο καθαρό.

2ον βήμα:

Κάνουμε δεξί κλικ στο χαλάζιο χρώμα της παλέτας του “Paint” (επομένη εικόνα) και, κατόπιν, αντιγράφουμε την προ-προηγουμένη εικόνα:

4η εικών:

Ορίζουμε ως χρώμα “σβησίματος” το γαλάζιο.

Τώρα, εάν επικολλήσουμε (“Paste”) την εικόνα της πυραμίδος, το γαλάζιο χρώμα των γραμμών θα μετατραπεί εις λευκό:

5η Εικών:

Μία έγχρωμη εικών με (μόνον) πέντε λευκές γραμμές.
(Η όραση, ίσως, δεν μπορεί να τις διακρίνει

αλλά, το πρόγραμμα, μπορεί...)

3ον βήμα:

Επικολλούμε την εικόνα σε ένα νέο αρχείο και, εκεί, την μετατρέπουμε σε μαυρόασπρη (διά των κινήσεων που απεικονίζονται αμέσως).

6η εικών:

Μετατροπή της εικόνος σε ασπρόμαυρη.

4ον βήμα:

Κατόπιν, την αντιγράφουμε και την επικολλούμε στο σχέδιο που δουλεύουμε:

Τώρα, το μόνο που έχουμε να κάμουμε είναι να αντιστρέψουμε τα χρώματα (βλέπε επομένη εικόνα), δηλαδή:
Να μετατρέψουμε την μαυρόασπρη σε ασπρόμαυρη

7η εικών:

Αντιστροφή των χρωμάτων:
Το μαύρο θα γίνει λευκό και αντιστρόφως.

Ιδού το τελικό αποτέλεσμα:

8η Εικών:

Μία, ορθώς “σχεδιασμένη” πυραμίς.

Σχόλιο:

Η πυραμίς του προηγουμένου σχήματος είναι, κατά τεκμήριον, ορθή. Το «τεκμήριον» είναι ότι μετατρέψαμε σε σχήμα μία αεροφωτογραφία. Το ερώτημα που τίθεται είναι εάν μπορούμε να επιτύχουμε την σχεδίαση μίας (αυτής άλλης) πυραμίδος χωρίς την βοήθεια της φωτογραφίας. Η σχεδίασή της θα συνιστά προβολή αυτής σε ένα επίπεδο (Π), κάθετο επί την διεύθυνση (δ) που ορίζεται από την πυραμίδα και το σημείο, Σ, από του οποίου ελήφθη η φωτογραφία

Σημείωση:

Λόγω της μεγάλης αποστάσεως θεωρούμε ότι, η (δ) είναι “μία”, ήτοι ότι, όλες οι ευθείες που συνδέουν το Σ με τα σημεία της πυραμίδος είναι παράλληλες.

Λύση σχεδιαστική:

Προϋποθέσεις:

1η: Γνώση του ύψους και της πλευράς της βάσεως της πυραμίδος.

2α: Γνώση του τρόπου διά του οποίου γίνεται η προβολή ενός αντικειμένου επί ενός επιπέδου.

Το πρώτον είναι πολύ εύκολο: Υπενθυμίζουμε το ύψος υ, της Πυραμίδος του Χέοπος είναι (περίπου) 146 μέτρα και η πλευρά, α, της βάσεως της, (περίπου) 230 μέτρα. Εκείνο που έχει σημασία διά το σχέδιο είναι οι λόγοι:

α/υ = 1,58 και υ/α = 0,63.

Ως προς το δεύτερο, χρειάζεται κάποια σχετική θεωρία. Αυτήν, όποιος την κατέχει δεν είναι μεταξύ αυτών που έθεσαν τις ερωτήσεις...

Επομένως, θα πρέπει να πούμε ορισμένα πράγματα, τέτοια ώστε, κάποιος, να μπορεί να κατασκευάσει μία ...τέλεια πυραμίδα, χωρίς να γνωρίζει θεωρία... Και, μάλιστα, με το “Paint”...

Μία  κανονική πυραμίς είναι εγγεγραμμένη εντός ορθού κώνου.

Αυτή, η απλή παρατήρηση είναι πολύ σημαντική, διότι, μας επιτρέπει να επιμερίσουμε την παρουσίαση. Δηλαδή, πρώτα, θα δείξουμε το πως γίνεται η απεικόνιση ενός ορθού κώνου. Και, έστω πως ο κώνος έχει ύψος, υ, ίσο προς το ύψος της Πυραμίδος του Χέοπος και διάμετρο βάσεως, ίση προς την πλευρά, α, της βάσεως της πυραμίδος. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι είναι κατασκευασμένος από ένα ...ημιδιαφανές υλικό (επομένη εικών). Και έστω πως τον παρατηρούμε από τόσο μακρυνή απόσταση (αναλόγως και προς το μέγεθός του) ώστε να θεωρείται “άπειρη”:

9η εικών:

Μία, τετραγωνική πυραμίς κατασκευασμένη από ...σωλήνες
εγγεγραμένη εντός ορθού κώνο.

10η εικών:
Ο παρατηρητής Α (από πολύ μακρυνή απόσταση),
βλέπει την Α΄ όψη του κώνου.
Ο παρατηρητής Β πλέπει την Β΄.
Πώς είναι όμως οι όψεις που βλέπουν οι λοιποί;

Προκειμένου να μελετήσουμε την προβολή του κώνου σε ένα επίπεδο που δεν είναι ούτε κάθετο (Α) ούτε παράλληλο (Β) προς το επίπεδο της βάσης του θα προχωρήσουμε σε ακόμη μία απλοποίηση:
Θα θεωρήσουμε, αντί του ορθού κώνου, την κυκλική του βάση και το ύψος του:
Και θα εξετάσουμε το τι βλέπει από αυτά, ένας τυχών (πλην των Α και Β), απομακρυσμένος παρατηρητής:

  11η εικών:

Ένας παρατηρητής ευρισκόμενος

εις το επ΄ άπειρον σημείον της διευθύνσεως δ,

βλέπει, το υ, ως υ΄ και, το r, ως, r΄.

Ο παρατηρητής, λοιπόν, αντί του ύψους υ βλέπει ένα κατακόρυφο τμήμα μήκους υ·ημφ και αντί του κύκλου της βάσεως βλέπει μία έλλειψη, της οποίας ο μεγάλος άξων ισούται προς την 2r, ενώ, ο μικρός ισούται προς 2r·συνφ.
Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο ορθός κώνος που παρατηρούμε δεν είναι ο περιγεγραμμένος της Πυραμίδος του Χέοπος αλλά, ένας άλλος, τέτοιος ώστε να διευκολύνει τις παρατηρήσεις μας: Και έστω πως αυτός έχει ακτίνα βάσεως r = 100 pixel και ύψος υ = 200 pixel. Και έστω, ακόμη ότι η γωνία φ είναι 1/3 της ορθής ήτοι, 30^ο.

Έχομε:

ημ30 = 1/2, συν30 = √3/2 ≈ 0,87.

Έχομε:

ημ30 = 1/2, συν30 = √3/2 ≈ 0,87.

Μετά από τις πράξεις, ευρίσκομε:

r΄ = 50 pixels, υ΄ ≈ 173 pixels.

12η εικών:

Δύο κώνοι: Ο ένας είναι κοιταγμένος από

ένα σημείο επί του επιπέδου της βάσεώς του.

Ο άλλος, είναι κοιταγμένος από ένα σημείο Μ τέτοιο ώστε

η ευθεία ΜΗ να τέμνει το εν λόγω επίπεδο υπό γωνία 30^ο.

 

Παρατηρούμε ότι, κάθε πυραμίδα που έχει κορυφή την κορυφή Κ του κώνου και ως βάση ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο εις την κυκλική βάση αυτού, είναι εγγεγραμμένη εις τον κώνο. Διά να είναι όμως κανονική (εν προκειμένω: τετραγωνική) θα πρέπει το πολύγωνο να είναι κανονικό. Εδώ δεν θα εξετάσουμε τους τρόπους της γεωμετρικής κατασκευής των κανονικών πολυγώνων ούτε πόσα και ποία είναι αυτό (3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20-γωνο). Θα δεχθούμε την χρήση του μοιρογνωμονίου (της πρακτικής γεωμετρίας). Το μοιρογνωμόνιο που απεικονίζεται εν συνεχεία μπορεί, όποιος θέλει, να το αντιγράψει. Το μόνο που έχει να κάμει είναι να το “κεντράρει” με τον κύκλο που θέλει να διαιρέσει. Αυτό, θα το δούμε εν συνεχεία... εν τούτοις, υπάρχει μία μικρή λεπτομέρεια: Διά να κεντραρισθούν δύο κύκλοι, θα πρέπει, αμφότεροι, να έχουν είτε ένα κέντρο ή, ...τέσσαρα.(αυτό, εξετάζεται εις την ανάρτηση υπό τον τίτλο: «Πόσα κέντρα έχει ...ο κύκλος;»)

13η εικών:

Ένα μοιρογνωμόνιο, έτοιμο προς χρήση...

Κατόπιν όλων αυτών, είμαστε έτοιμοι να σχεδιάσουμε μία πυραμίδα. Έστω δε πως, αυτή, είναι η Πυραμίς του Χέοπος. Και ας πούμε ότι οι διαστάσεις που θα δώσουμε εις το σχέδιό μας θα είναι σύμφωνες με την αντιστοιχία: p(ixel) προς 2 μ(έτρα).

Έχομε:

Ύψος υ = 73 p.

Πλευρά βάσεως: α = 115 p.

Προκειμένου να σχεδιάσουμε τον περιγεγραμμένο κώνο της πυραμίδος χρειαζόμαστε την διάμετρο της κυκλικής του βάσεως, ήτοι, την διάμετρο, δ, του κύκλου του περιγεγραμμένου περί τετράγωνο πλευράς α.

Έχομε:

δ = α√2 = 163. (Η απόδειξη εις το σχήμα που ακολουθεί.)

14η εικών:

Η σχέση της πλευράς, α, τετραγώνου
προς την διάμετρο, δ, του περιγεγραμμένου κύκλου.

Τώρα, πρέπει να επιλέξουμε γωνία φ. Επειδή η πυραμίς που θέλουμε να απεικονίσουμε έχει μικρό, σχετικώς, ύψος (είναι “κοντόχοντρη”) θα πρέπει, να την “κοιτάζουμε” από κάπως χαμηλά, δηλαδή, η φ (10η εικών), να είναι, σχετικώς μικρή, π.χ., 25^ο.

Θα βρούμε (με την αριθμομηχανή του υπολογιστού) το ημίτονο (sin) και το συνημίτονο (cos) των 25^ο. Με το πρώτο θα πολλαπλασιάσουμε το υ διά να το υ΄ βρούμε την προβολή του ύψους και με το δεύτερο την δ διά να βρούμε την δ΄ ήτοι τον μικρό άξονα της ελλείψεως (οι αριθμοί είναι κατά προσέγγιση).

Έχομε:

ημ25 = 0,42 => δ΄ = δ·ημ25 = 163·ημ25 = 68.

συν25 = 0,9 => υ΄ = υ·συν25 = 73·συν25 = 66.

Εις τον επόμενο πίνακα βλέπουμε, σχηματοποιημένα, τις ενέργειες που έχουμε, ήδη, περιγράψει και που θα ακολουθήσουν εν συνεχεία:

15η εικών:

Κατόπιν της ευρέσεως των υ΄ και δ΄, προβολών των υ και δ, αντιστοίχως,
σχεδιάζουμε την προβολή του περιγεγραμένου κώνου της πυραμίδος.

 

16η εικών:

Μία (δοκιμαστική) διαίρεση του κύκλου,
προς κατασκευήν εγγεγραμένων τετραγώνων και η προβολή της.

17η εικών:

Τέσσαρες βάσεις της τετραγωνικής πυραμίδος,
οι προβολές τους και οι προβολές των υψών της.

18η εικών:
Τέσσαρες σχεδιασμένες πυραμίδες (προβολές) προς περαιτέρω επιλογή.

19η εικών:
Οι δύο καταλληλότερες (κατά την γνώμη του γράφοντος).

20η εικών:
Απεικόνιση των πυραμίδων υπό ...στερεά μορφή.

Κατόπιν όλων αυτών, κάποιος αναγνώστης μπορεί να παρατηρήσει ότι, οι πυραμίδες, θα εφαίνοντο καλλίτερα, εάν είχα στραφεί (αριστεροστρόφως) λίγο περισσότερο. Εάν, αυτό, είναι ορθόν, σημαίνει ότι, ο γράφων, θα έπρεπε να είχε στρέψει την αρχική διαίρεση (15η εικών). Δηλαδή, να είχε προβλέψει το αποτέλεσμα – αν όχι εξ υπαρχής, τουλάχιστον, σε κάποια ενδιάμεση φάση. Χμμμ... Είναι γνωστή η παροιμία που λέγει ότι «όποιος δεν έχει μυαλό έχει ποδάρια»... Εν προκειμένω, θα πρέπει να προσαρμοσθεί:

«Όποιος δεν έχει πολύ μυαλό, κουράζει πολύ, το λίγο...»:

Θα στρέψουμε την διάταξη της 15ης εικόνος κατά 7,5^ο (το ήμισυ της αρχικής) και θα δούμε τα νέα αποτελέσματα:

21η εικών:

Οι αυτές πυραμίδες κοιταγμένες από διαφορετική γωνία.

Τώρα, ένας άλλος αναγνώστης (ίσως και ο ίδιος), ενδεχομένως θα πει ότι, η πυραμίδα, θα ήταν καλλίτερη, εάν την είχαμε κοιτάξει από πιο χαμηλά... Ας γίνει, λοιπόν, και αυτό...:

22α εικών:

Οι προηγούμες πυραμίδες κοιταγμένες από πιο χαμηλά.

* * *

Εδώ, τελείωσε η παρουσίαση της διαδικασίας κατασκευής της προβολής μίας τετραγωνικής πυραμίδος με δεδομένα το ύψος και την πλευρά της βάσεώς της. Αυτά που είπαμε ισχύουν διά κάθε κανονική πυραμίδα ή/και διά κάθε στερεό. Η κατασκευή δεν έγινε με κάποιο ακριβό πρόγραμμα αλλά, με το “Paint” που παρέχεται δωρεάν.

Σχόλιο:

Πάντως, η καλλίτερη λύση είναι ένα παραμετρικό προγραματάκι (π.χ. γραμμένο σε java), εις το το οποίο, οι παράμετροι (α: πλήθος κορυφών της βάσεως, β: ύψος, γ: γωνία στροφής περί τον άξονά του, δ: γωνία προβολής) θα μπορούν να μεταβάλλονται, είτε από το πληκτρολόγιο ή, διά του κέρσορα.

Θα πει κανείς:

«Και,... τώρα μας το λες;»

Μα, όποιοι θελήσουν να κάμουν ένα τέτοιο πρόγραμμα, χρειάζεται να έχουν αναγνώσει τα προηγούμενα (και όχι μόνον αυτά)... Εκτός και αν τα γνωρίζουν, οπότε, το συμπέρασμα είναι ότι, όλοι αυτοί, είναι ιδιαιτέρως πολυάσχολοι... Εμ, βέβαια, αφού βλέπουν τόσους ανθρώπους που δυσκολεύονται να σχεδιάσουν μία πυραμίδα... και δεν αποφασίζουν να τους βοηθήσει...
Εάν κάποιος αναγνώστης γνωρίζει την ύπαρξη ενός τέτοιου προγραμματακίου ή, γνωρίζει να το φτιάξει, ας το ανακοινώσει ώστε να τοποθετήσουμε μία παραπομπή, απ΄ εδώ, προς την σελίδα που θα το δημοσιεύσει...

Ευχαριστώ τους αναγνώστες διά τον χρόνο που διέθεσαν...