«Είτε αγνοείς τα θεωρήματα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

(Αυτή η ανάρτηση είναι συνέχεια μίας άλλης υπό τον τίτλο: «Το τρίγωνο που ...κατεδαφίστηκε.». Εκεί, ετέθη ένα τεχνικό πρόβλημα και, εδώ, περιγράφεται η λύση του. Όσοι θέλουν να ...επιδοθούν εις την εύρεσή της, ας αρχίσουν απ΄ εκεί... Όσοι θέλουν να το δούν ως ...σχολική άσκηση μπορούν να μεταβούν εις το τέλος της ανάρτησης, εδώ. Όσοι δυσκολευτούν εις την ανάγνωση του παρόντος, ίσως χρειάζεται, προηγουμένως, να κοιτάξουν την ανάτρηση υπό τον τίτλο: «Αρμονική Σημειοσειρά και Θεωρήματα των Διχοτόμων.» (υπό κατασκευήν). Αυτό, το τελευταίο, τίθεται εξ αιτίας των τεσσάρων πρώτων σημείων του σχολίου του MEGLIOGIOVENTU, εδώ: November 13, 2013 at 1:10 PM. Η παράλειψη του γράφοντος δικαιολογείται(;) από το γεγονός ότι η παρούσα ανάρτηση έχει συγκεκριμένους αποδέκτες διά τους οποίους, τα σχετικά θέματα, είναι γνωστά...)

Αυτός που είναι δύστροπος, είναι δύστροπος με όλους...

Ο λόγος περί του ξυλουργού του αφηγήματος (εις το “συζυγές” blog)...:

Όταν τον επεσκέφθη ο συνάδελφός του που αντιμετώπιζε το γνωστό πρόβλημα, αφού του το εξήγησε, του είπε:

Συνάδελφος: «Φταίω εγώ που τους είπα ότι δεν είμαι μάγος ...ή, κάτι τέτοιο.»

Ξυλουργός: «Χρησιμοποιείς, την άγνοια, ως δικαιολογία; Πάντως δεν ξέρω ποίο εκ των δύο είναι το φταίξιμό σου...»

Συνάδελφος: «Τί εννοείς;... Ποιά δύο;»

Ξυλουργός: «Είτε αγνοείς το θεώρημα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω τίποτε από αυτά... Αν και μου είπανε ότι, αυτό, το μεσαίο μπουλόνι είναι εκεί που, η διχοτόμος της γωνίας,... αυτής, απέναντι από το καντρόνι, “βρίσκει” το καδρόνι.»

Ξυλουργός: «Ξέρεις, τουλάχιστον πως το καδρόνι είναι οριζόντιο...: Αυτό, “μου λέει” η φωτογραφία... »

1η εικών:
Το εναπομείναν οριζόντιο τμήμα του ...“κατεδαφισθένος” τριγώνου.

Συνάδελφος: «Μάλιστα.»

Ξυλουργός: «Ξέρεις ότι αυτό εδώ, το ακραίο μπουλόνι... (και που δεν είναι, αυτό, στο μέσον του καδρονιού), είναι εκεί που, το ύψος, “βρίσκει” το καδρόνι;»

Συνάδελφος: «Ναι – μου το είπανε κι΄ αυτό...»

Ξυλουργός: «Άρα, ξέρεις ένα τόπο, πάνω στον οποίο είναι η κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ που θέλεις να βρεις.»

Συνάδελφος: «Μα, άμα ήξερα σε ποιό σημείο είναι το Α, δεν θα ερχόμουνα να σ΄ ερωτήσω...»

Ξυλουργός: «Δεν σου είπα να ξέρεις το σημείο... αλλά, ένα τόπο. Για φτιάξε ένα σχήμα... και βάλε και γράμματα, για να συνεννοούμεθα... Ή μάλλον όχι: Πάρε ένα πηχάκι... για να το κάνουμε χειροπιαστό.»

Μετ΄ ολίγον υπήρχε στο τραπέζι το πηχάκι που βλέπουμε:

2α εικών:
Το αντικείμενο της προηγουμένης εικόνος,

σε μία πρώτη φάση “γεωμετρικοποίησής” του.

Ξυλουργός: «Μπορείς να μου πεις που είναι το Α;»

Συνάδελφος: «Όόόχι... Το Α, μπορεί να είναι οπουδήποτε...»

Ο ξυλουργός αντέδρασε εντόνως:

Ξυλουργός: «Ψεύδεσαι... Εκτός και αν δεν γνωρίζεις ότι το ύψος ΑΗ, είναι ένα τμήμα ευθείας που ξεκινάει από το Α και φθάνει στο Η και ότι η γωνία που σχηματίζει με την ΒΓ είναι ορθή»

Συνάδελφος: «Το γνωρίζω... Αυτό όμως, πάει να πει ότι εάν κρεμάσουμε το “ζύγι” έτσι που η μύτη του να ακουμπάει στο Η, το Α, μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο επάνω στο κορδόνι του “ζυγιού”.»

Ξυλουργός: «Άλλο «οποιοδήποτε σημείο επάνω στο κορδόνι του “ζυγιού”» (εν όσω, αυτό, είναι κατακόρυφο) και άλλο «οπουδήποτε» (“σκέτο”) που είπες πριν...»

Μετά ταύτα είχαν ενώπιόν τους το σχήμα που ακολουθεί:

3η εικών:
Η κορυφή Α, του ...κατεδαφισθέντος τριγώνου
ευρίσκεται επί του ... κοδρονίου ενός  “ζυγίου”
του οποίου η αιχμή ταυτίζεται με το Η
(υποτιθεμένου ότι η ΒΓ είναι οριζοντία).

Ξυλουργός: «Τώρα πρέπει επάνω σε αυτήν την (ε) να βρούμε ένα σημείο Α τέτοιο ώστε η ΑΔ να είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. –Έτσι δεν είναι;»

Ο άλλος, διετύπωσε την “εύκολη” ...“ξυλουργική”, λύση...:

Συνάδελφος: «Έ, θα παίρνουμε, επάνω στην (ε), σημεία, με την σειρά, και θα δοκιμάζουμε...»

Ξυλουργός: «Δεν έχεις κανένα πιο ...έξυπνο τρόπο;»

Συνάδελφος: «Χμμμ... Νομίζω πως ξέρω ένα... Αλλά, θέλει μηχανισμό... Είναι, μάλλον, “πατέντα”... –Μία, που την σκέφτηκα τώρα...»

Όταν ο ξυλουργός, ακούει για επινοήσεις... «ανοίγει η καρδιά του»...

Ξυλουργός: «Πες τον... μπορεί να έχει ενδιαφέρον...»

Συνάδελφος: «Είναι η μέθοδος της ...«πτυσσόμενης κρεμάστρας»... (ας την πούμε έτσι):»

...

Μετά από πολλά είχαν συνεννοηθεί περί του τρόπου κατασκευής του μηχανισμού:

4η εικών:
Καθώς τρία σκέλη του μηχανισμού ανοιγοκλείνουν
ολισθαίνοντα “εντός” των περιστρεφομένων σημείων Β, Δ και Γ,
ο άξων συμμετρίας του μεσαίου είναι η διχοτόμος της γωνίας
που σχηματίζουν οι άξονες συμμετρίας των δύο ακραίων.
Όταν η αιχμή που ευρίσκεται εις την κορυφή του μηχανισμού
συναντήσει την διά του Η κάθετον επί την ΒΓ εις το σημείον Α,
τότε, το τρίγωνο ΑΒΓ θα έχει ως ύψος το ΑΗ
και ως διχοτόμο της γωνίας ΒΑΓ την ΑΔ.

Μόλις ολοκληρώθηκε ο μηχανισμός (στη σκέψη τους και στα σκαριφήματά τους), ο ξυλουργός έβαλε, ξαφνικά, τα γέλια...:

Ξυλουργός: «Ρε συ, εάν μία τέτοια επινοητικότητα την είχαν και αυτοί που έχουν και τις γνώσεις...»

Αποτόμως σοβαρεύτηκε:

Ξυλουργός: «Εσύ όμως, τις γνώσεις, μπορείς να τις αποκτήσεις... Και όχι, να φτιάχνεις ...ένα κανόνι, για ...να σκοτώσεις ένα κουνούπι, όπως έκαμες, τώρα δα... Κάτσε, λοιπόν, να σου πω, ορισμένα πράγματα...:» 

Ο άλλος, αντέδρασε κάπως έτσι:

Συνάδελφος: «Δεν θέλω να μου πεις «ορισμένα πράγματα»... Θέλω να μου πεις την λύση: Πόσο είναι το μήκος των πλευρών που πρέπει να προσθέσω... για να ξαναφτιάξω το τρίγωνο.»

Ξυλουργός: «Δεν μου αρέσουν οι “τζαμπατζήδες”...»

Συνάδελφος: «Μήπως θέλεις ...να σε πληρώσω;»

Ξυλουργός: «Όχι να με ...«πληρώσεις» αλλά, αν εκ/πληρώσεις την υποχρέωση που έχεις, να γνωρίζεις αυτά που θα χρησιμοποιήσεις...»

Ο άλλος αντέδρασε κάπως... ειρωνικεπιθετικώς:

Συνάδελφος: «Άκουσε μάστορα,... Δεν είμαστε όλοι... έξυπνοι σαν και 'σένα...»

Ξυλουργός: «Έξυπνος είναι αυτός που κάμνει, τον άλλον, εξυπνότερο (και, βλάξ, εκείνος που τον κάμνει βλακίστερο)... Μη με αποκαλείς «έξυπνο» όταν με εμποδίζεις να ασκήσω την “εξυπνάδα” μου.»

Συνάδελφος: «Έξυπνοι, δηλαδή, είναι οι ...“ευεργέτες”;»

Ξυλουργός: «Χμμμ... δεν ξεύρω. Πάντως, είναι εντελώς “ιδιοτελείς” (έχουν ίδιον τέλος, σκοπό): Έτσι όπως την όρισα, η εξυπνάδα, είναι (αντ)αποδοτική... –Αλλ΄ ας τ΄ αφήσουμε αυτά:

Βλέπεις το τρίγωνο που έφτιαξα; Θα μπορούσε να ήταν κάπως έτσι το ζητούμενο... εάν, η βάση του, έμοιαζε με εκείνη πού μου έδειξες;»

Συνάδελφος: «Ναι, βέβαια...»

Ξυλουργός: «Λοιπόν, ας αναλύσουμε αυτό εδώ το τρίγωνο... και ας δούμε αν τα συμπεράσματα που θα βγάλουμε είναι κατάλληλα και για εκείνο που ζητάμε: Θυμάσαι που είχαμε “κολλήσει”;»

5η εικών:

Τα τρίγωνο αυτό, θα μπορούσε να ήταν το ζητούμενο,

εάν η βάση του ήταν εκείνη που

είχε απομείνει από το “κατεδαφισμένο”.

Ο συνάδελφος του ξυλουργού, κοίταξε το σχήμα και είπε:

Συνάδελφος: «Θέλουμε, το Α, που είναι επάνω στην (ε) να είναι τέτοιο ώστε η ΑΔ να είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ. Αυτό όμως, πρέπει να ισχύει για 'κείνο, το τρίγωνο που ζητάμε... Όχι γι΄ αυτό εδώ, που... πρώτα το έφτιαξες και μετά πήρες την διχοτόμο της γωνίας του...»

Ξυλουργός: «Καλά,... καλά...: Αλλά, πες μου: Αυτή η διχοτόμος, η ΑΔ, έχει κάποια ιδιαίτερα χαρακτηριστικά,... δηλαδή, χαρακτηριστικά, εξ αιτίας του γεγονότος ότι είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ.»

Ο άλλος, απήντησε με μία ...ταυτολογία.

Συνάδελφος: «Ε, κάνει τις γωνίες ΒΑΔ και ΔΑΒ, ίσες...»

Ξυλουργός: «Άλλο;»

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω...»

Ξυλουργός: «Πάντως, εάν βρούμε και άλλα χαρακτηριστικά, αυτά, θα τα έχει μόνον τούτη 'δω ή, θα τα έχει και η άλλη, η διχοτόμος της γωνίας του τριγώνου που ζητάμε;»

Συνάδελφος: «Θα τα έχει και η άλλη,... εκτός και αν, αυτό το τρίγωνο, εδώ, είναι ειδικό...»

Ξυλουργός: «Δεν είναι ειδικό: Είναι ένα τρίγωνο σκαληνό... δηλαδή, “κουτσό” – όχι ισοσκελές... ούτε και ισόπλευρο (που είναι – και αυτό – ισοσκελές).»

Συνάδελφος: «Είχα ακούσει την λέξη «σκαληνό» αλλά δεν ήξερα ότι σημαίνει «κουτσό»... Δηλαδή, τα τρίγωνα που δεν έχουν ίσα σκέλη, είναι “κουτσά”... πολύ απλό... για φαντάσου...»

Ξυλουργός: «Τα μαθηματικά είναι πιο εύκολα γι΄ αυτούς που γνωρίζουν ελληνικά...»

Συνάδελφος: «...»

Ξυλουργός: «Ας προσπαθήσουμε, τώρα, να δούμε ποιές άλλες σχέσεις μπορεί να έχει η ΑΔ με τα λοιπά στοιχεία του τριγώνου ΑΒΓ... Ποία από αυτά λες να θεωρήσουμε πρώτα;»

Συνάδελφος: «Μήπως, τις πλευρές;»

Ξυλουργός: «Ποιές πλευρές;»

Ο άλλος παρετήρησε και είπε:

Συνάδελφος: «Α, υπάρχουν δύο ειδών πλευρές: Αυτή, που η ΑΔ την τέμνει (η ΒΓ) και οι δύο άλλες... Εμείς, την ΒΓ, την έχουμε... Ας εξετάσουμε τις άλλες...»

Ξυλουργός: «Και τις άλλες τις τέμνει...: Στο Α.»

Συνάδελφος: «Έ, τότε, να το διορθώσω: Την ΒΓ δεν την τέμνει σε κάποιο άκρο της, ενώ τις άλλες, τις τέμνει στο ένα άκρο τους...»

Ξυλουργός: «Μπορείς να εξετάσεις τι γίνεται με το σημείο, το Α... Τί παρατηρείς;»

Συνάδελφος: «Χμμμ.... Παρατηρώ-παρατηρώ, αλλά, εκτός από τις ίσες γωνίες, δεν βλέπω τίποτε άλλο..»

Ξυλουργός: «Λοιπόν, μήπως πρέπει να εξετάσεις το τι γίνεται και με το άλλο άκρο των ΑΒ και ΑΓ;»

Συνάδελφος: «Ναι, ίσως,... αλλά, δεν ξέρω τι να κάνω. Πώς να τα συνδέσω...»

Ξυλουργός: «Όταν λες «να τα συνδέσεις»... τί εννοείς; Κάτι, άλλο, μήπως, από αυτό που δηλώνει η λέξη: Δηλαδή, να τα συν δέσεις...»

Συνάδελφος: «Τώρα που το λες, αυτό θα έπρεπε να εννοούσα... (καλά το είπες, αυτό, για ...τα ελληνικά).»

Ξυλουργός: «Πώς, λοιπόν, θα (συν) δέσεις το Β, και το Γ, επί (ή, μετα) της ΑΔ;»

Ο συνάδελφος του ξυλουργού, εσκέφθη και είπε:

Συνάδελφος: «Δεν ξέρω... αλλά, μάλλον, ο τρόπος θα πρέπει να είναι όμοιος... Ας πούμε να πάρω ένα σημείο Ε της ΑΔ και να φέρω την ΒΕ και την ΓΕ...»

Ξυλουργός: «Μα, ένα τέτοιο σημείο, το έχεις: Είναι το Α.»

Ο ξυλουργός θέλησε να τον αποτρέψει από κάποιον παρόμοιο τρόπο... Αυτό, διότι η απόδειξη που ήξερε, αυτός,... ήταν αλλοιώς:

6η εικών:

Τα γραμμοσκιασμένα τρίγωνα είναι όμοια.

Το αυτό, και τα έγχρωμα, και δη

με τον αυτό λόγο ομοιότητος. ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Άρα, ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ.

Παρά την προσπάθεια του ξυλουργού, ο άλλος δεν εκάμφθη:

Συνάδελφος: «Ε, ας πάρω και ένα άλλο σημείο επάνω στην ΑΔ, το Ε, να δω τι γίνεται...»

Ο ξυλουργός δεν κρατήθηκε:

Ξυλουργός: «Αυτό, το Ε, πού θα το βρεις (επάνω στην ΑΔ); Μήπως εκεί που (π.χ.) την τέμνει η δια του Β κάθετος επ΄ αυτήν;»

Είναι προφανές ότι “το πήγαινε” στο δικό του:

Ο συνάδελφός του είχε άλλη γνώμη (δεν ήξερε, βεβαίως, και εκείνα που, ο άλλος, δεν ήθελε να του “μαρτυρήσει”...):

Συνάδελφος: «Όόόχι... Εγώ, λέω... – λέω,... τώρα – να βάλω τον διαβήτη (την μύτη του) στο σημείο Β και να κάνω ένα κύκλο ΒΑ... δηλαδή, αυτή να είναι η ακτίνα. Το Ε που θα βρω, μ΄ αυτόν τον τρόπο (επάνω στην ΑΔ), μου φαίνεται πολυ βολικό...»

Ξυλουργός: «Κάμε το.»

7η εικών:

Το έγχρωμο τρίγωνο είναι ισοσκελές (ΑΒ = ΒΕ), άρα:
τα γραμμοσκιασμένα τρίγωνα είναι όμοια.
Επομένως: ΕΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ, ήτοι: ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ (ΑΒ = ΒΕ).
.

Από την στιγμή που ο συνάδελφος του ξυλουργού διεπίστωσε πως οι γωνίες ΒΑΕ και ΒΕΑ του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΕ είναι ίσες, μέχρι που να φθάσει εις την απόδειξη της σχέσης ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ, μεσολάβησε τόση συνομιλία, που θα εξαντλούσε την υπομονή παντός αναγνώστου (άλλο, αυτοί οι δύο που την διεξήγαγον). Ταχύτερα έγινε η απόδειξη της σχέσης ΑΒ/ΑΓ = ΑΔ΄/Δ΄Γ όπου Δ΄ το (αμετάβλητο, όπως απεδείχθη) σημείο εις το οποίο τέμνει την ΒΓ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ...

Το γεγονός ότι η ΑΔ΄ είναι κάθετος προς την ΑΔ, απεδείχθη ταχύτατα και, εξ αυτού...:

«Α», έκαμε ο “μαθητής”: «Τώρα, θυμήθηκα κάτι που λέμε: Το σημείο Α βλέπει το σταθερό τμήμα Δ΄Δ υπό γωνία ορθή...»

«Το σημείο Α, δεν «βλέπει». Εμείς, βλέπουμε από του σημείου Α... Τώρα, μπορείς να μου πεις που ευρίσκεται το Α;»

8η εικών:

Ο κύκλος διαμέτρου Δ΄Δ είναι ο γεωμετρικός τόπος

των σημείων Μ από τα οποία

το Δ΄Δ φαίνεται υπό γωνία ορθή
Ο αυτός κύκλος είναι και ο γεωμετρικός τόπος
των σημείων Μ διά τα οποία ο λόγος λ = ΜΒ/ΜΓ, είναι σταθερός.

Αυτό, ήταν εύκολο:

«Επάνω σε ένα κύκλο διαμέτρου Δ΄Δ. – μόλις το είπαμε...»

«Θυμάσαι και που, αλλού, ευρίσκετο;»

«Ναι: Επάνω εις την κάθετο επί την ΒΓ,... την κάθετο που ξεκινάει από το Η... την (ε).»

«Τώρα, μπορείς να πεις με βεβαιότητα ποίο είναι το σημείο Α;»

«Ναι, είναι η τομή... δηλαδή, οι δύο τομές του κύκλου και της ευθείας που είπαμε.»

Ο ξυλουργός είχε μία τελευταία ερώτηση:

«Και τώρα, πες μου: Αυτό, διά να το βρεις, έπρεπε να ήσουν ...μάγος;»

Ο άλλος απεφθέγχθη:

«Μάγος είναι εκείνος που ξέρει αυτά που δεν ξέρουν οι άλλοι...»

Το πρόβλημα, ως σχολική άσκηση:

Να κατασκευασθεί τρίγωνο ΑΒΓ δεδομένων των σημείων Β, Γ, Η, Δ όπου Η και Δ οι πόδες του διά του Α ύψους του και της διχοτόμου της γωνίας ΒΑΓ, αντιστοίχως.

Λύσις Α:

Α1: Αφού το Η είναι ο πούς του διά του Α ύψους, το Α (δεν μπορεί παρά να) κείται επί της (ε) διά του Η καθέτου επί την ΑΒ.

Α2: Επειδή οι διχοτόμοι (εσωτερική-εξωτερική) των γωνιών των τριγώνων τέμνονται καθέτως, το Α κείται επί ενός κύκλου διαμέτρου Δ΄Δ, όπου Δ΄ το σημείο εις το οποίο η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την ΒΓ. Αλλά, το Δ΄ είναι γνωστό διότι είναι το αρμονικό συζυγές του Δ ως προς τα Β και Γ.

Άρα, το Α ευρίσκεται ως τομή της (ε) και του κύκλου διαμέτρου Δ΄Δ.

Λύσις Β (ή, μάλλον, παρατήρηση επί της Α):

Β1: Το αυτό με το Α1.

Β2: Επειδή ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ το Α κείται επί του γεωμετρικού τόπου των σημείων διά τα οποία ισχύει αυτή η σχέση, Ο γεωμετρικός τόπος, αυτός, είναι ο κύκλος διαμέτρου Δ΄Δ.

Παρατήρηση:

Η λύσις αυτή (μάλλον) δεν μπορεί να προταθεί ως αυτόνομη, διότι προϋποθέτει την προηγουμένη. Άρα (μάλλον) μόνον ως παρατήρηση αυτής ευσταθεί.

 

Το τρίγωνο που ...κατεδαφίστηκε.

Μία εισαγωγή ...άσχετη:

Καθ΄ εκάστην που λέγω: «σας ευχαριστώ», έχω την εντύπωση πως ακούω την ερώτηση:

«–Δηλαδή, πώς μ΄ ευχαριστείς;»

Η τελευταία φορά που το διετύπωσα ήταν όταν ο κύριος Ρωμανίδης, δημιουργός του blog υπό τον τίτλο: «Διασκεδαστικά Μαθηματικά», παρουσίασε ή/και προέβαλε το blog, αυτό, εδώ (μπορείτε να δείτε τον τρόπο της προβολής, κλικάροντας). Το να πω ότι «εις ανταπόδοσιν θα προβάλω, κι΄ εγώ, το δικό σας», δεν είναι μόνον αφελές (καθόσον η “επισκεψιμότητα” αυτού, εδώ, του blog είναι – προς το παρόν – αμελητέα) αλλά και εσφαλμένο: Καθείς, πρέπει να προτείνει ό,τι νομίζει και να μη μετατρέπει το νομιζόμενο εις ...νόμισμα. Πάντως, εάν κάποιος επισκέπτης δεν γνωρίζει το εν λόγω blog, προτρέπεται εντόνως να το επισκεφθεί κλικάροντας εις τον τίτλο του:

...

Εν τω μεταξύ, παρετήρησα ότι πολλοί επισκέπτες του δικού μου blog προέρχονται από εκείνο – προφανώς εξ αιτίας της, εν λόγω παρουσίασης. Αυτοί, είναι άνθρωποι – εσκέφθην – οι οποίοι αρέσκονται εις τα «Διασκεδαστικά Μαθηματικά». Λοιπόν, τι πιο ευχάριστο δι΄ αυτούς (και δι΄ εκείνον που έκαμε την παρουσίαση) εάν τους “υποδεχόμουν” με ένα “διασκεδαστικό” γεωμετρικό πρόβλημα που θα δημιουργήσω, διά τον σκοπόν αυτόν;

Έτσι και έπραξα:

«Όπερ έδει ποιήσαι», όπως λέμε και στην γεωμετρία.

Ιδού, λοιπόν, το πρόβλημα:

Το τρίγωνο που ...κατεδαφίστηκε.

Ένα δήμαρχος – ο οποίος υπάρχει μόνον εις την φαντασία μου – από την πολλή αγάπη του προς την γεωμετρία, και επειδή ήθελε να προκαλέσει και την αγάπη των δημοτών του (προπάντων των παιδιών) ονόμασε το δημοτικό πάρκο, «Πάρκο Γεωμετρίας» και, εκεί, υλοποίησε διάφορα γεωμετρικά σχήματα – όχι μόνον στερεά, αλλά και επίπεδα... Εις περίοπτον θέσιν ήταν τοποθετημένο ένα τρίγωνο, επί επιπέδου κατακορύφου, φέρον τις μεσοκαθέτους των πλευρών του (από πλευράς μέχρι του κοινού τους σημείου) και τους πόδας των υψών, των διχοτόμων και των διαμέσων. Το τρίγωνο ήταν υλοποιημένο διά καδρονίων. Οι κορυφές του καθώς και οι πόδες που αναφέραμε ήσαν υλοποιημένα δι΄ ήλων μετά “λαιμού”. Εις αυτούς τους “λαιμούς” μπορούσε να περάσει ένας βρόγχος εξ εκείνων που ευρίσκοντο εις τα άκρα ενός ελαστικού σχοινίου ώστε, δι΄ αυτού του τρόπου μπορούσαν να υλοποιηθούν τα ύψη, οι διχοτόμοι κτλ (δεν εμφανίζονται εις το σχήμα αλλά μπορούμε να τα φανταστούμε).

Όταν τα παιδιά του νηπιαγωγείου επήγαιναν στο πάρκο, άκουγες την νηπιαγωγό να λέγει: «Η Ρηνούλα, να βάλει τις διαμέσους» ή: «Ο Γιωργάκης, να συνδέσει του πόδας δύο υψών»...

...

Δυστυχώς, εις τις επόμενες δημοτικές εκλογές, υπερίσχυσαν οι αγεωμέτρητοι και ως τις μεθεπόμενες από το μεν τρίγωνο είχε απομείνει αυτό που βλέπουμε από τον δε δήμαρχο ...αυτό που δεν βλέπουμε...

Ο νέος δήμαρχος, όταν το είδε, είπε:

«Ας φωνάξουμε ένα ξυλουργό – ρε παιδιά – να το επισκευάσει.»

Ο ξυλουργός, όταν το είδε, είπε:

«Αυτό δεν θέλει ξυλουργό αλλά ...μάγο: Πού θέλετε να ξέρω 'γω, πόσο μήκος είχαν οι πλευρές που λείπουν;»

...

Μπορεί κάποιος αναγνώστης να τον βοηθήσει; Διότι, αν προσφύγει εις τον άλλο ξυλουργό, αυτόν που διηγείται τα ...κατορθώματά του (εδώ), είναι βέβαιον ότι θα τον ...λοιδορήσει διά την άγνοια της γεωμετρίας... (τον ξέρω 'γω).

...

Αντί υποδείξεως θα διατυπώσω την φράσιν που (φαντάζομαι) ότι θα του πει:

«Είτε αγνοείς τα θεωρήματα των διχοτόμων ή, δενγνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»

Αυτός, θα είναι ο τίτλος της ανάρτησης που θα περιέχει την λύση...

...

Προς τους αποστολείς emal:

• Προς τους αποστολείς emal:
  Προς διευκόλυνσή τους, οι αποστολείς των email μπορούν να αντιγράφουν και να συμπληρώνουν το κάτωθι "έντυπο":
  Το σχόλιό μου αφορά την τάδε ανάρτηση: [Τίτλος.]
  Το σχόλιό μου να δημοσιευεί: [ΝΑΙ - ΟΧΙ]
  Το όνομά μου (εις περίπτωσιν δημοσίευσης) είναι: [Όνομα ή, τίποτε.]
  
  

Το 5ον αίτημα του Ευκλείδου και το “ισοδύναμό” του.

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Η ανάρτηση γίνεται εξ αφορμής ενός σχολίου που εγράφη εδώ...:
November 4, 2013 at 11:02 PM: 
Το μέρος του σχολίου που αφορά την ανάρτηση είναι το εξής:
<<
Ως προς το σημείο που γράφεις για το 5ο αίτημα του Ευκλείδη και το "ισοδύναμό" του αξίωμα, στην εικόνα 12, νομίζω ότι η ακριβής διατύπωση πρέπει να είναι " .... η (ε) είναι η μόνη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο Μ στην οποία συμβαίνει αυτό (δηλαδή είναι παράλληλη της (δ)". Αλλά αν διατύπωθεί έτσι οπως λεώ , δεν καταλαβαίνω γιατί είναι δύσκολο να το δεχτεί κάποιος.Εμένα μου φαίνεται σωστό.
Γενικά το θέμα ισως χρειάζεται λίγο περισσότερη ανάλυση και ειδικά η φράση: "Διότι, έχει μεγάλη σημασία το τι αιτείσαι από τον άλλον να δεχθεί...:" , ωστε να αναδείξεις την διαφορά με σαφήνεια.
>>

 Κατ΄ αρχήν περί της “ισοδυναμίας” των αιτημάτων:

Δύο μαθηματικές προτάσεις, Α και Β, λέγονται ισοδύναμες όταν, η αλήθεια ή, το ψεύδος της μίας, συνεπάγεται την αλήθεια ή, το ψεύδος της άλλης. Π.χ.:

Α: κ > λ.

Β: λ < κ.

Προφανώς εάν η Α είναι αληθής τότε είναι αληθής και η Β (και, αν είναι ψευδής η Α, θα είναι ψευδής και η Β). Τότε λέμε ότι οι Α και Β είναι ισοδύναμες και γράφουμε συμβολικώς:

Α <=> Β ή/και Β <=> Α.

Εις την προκειμένη περίπτωση μπορείς ευκόλως να αντικαταστήσεις τις προτάσεις Α και Β, ή και να υποκαταστήσεις την μία διά της άλλης διότι η ισοδυναμία τους είναι προφανής.

Τί γίνεται όμως με την “ισοδυναμία” των αιτημάτων ή, των αξιωμάτων;

Και πώς αποκαλείται «ισοδυναμία» η υποκατάσταση ενός αιτήματος, Α, από ένα θεώρημα, Θ, όταν, το Θ, αποδεικνύεται δυνάμει του Α;

Π.χ., το θεώρημα, Θ, ότι το άθροισμα των γωνιών παντός τριγώνου ισούται προς δύο ορθές γωνίες, δεν μπορεί να αποδειχθεί χωρίς την χρήση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδου... Αλλ΄ εάν δεχθούμε “αξιωματικώς” το Θ, αυτό το αίτημα αποδεικνύεται... Μάλιστα...: Το θέμα όμως είναι το ποιος θα το πιστεύσει... αν, στα “καλά-καθούμενα”, του πεις ότι:

«Βλέπεις αυτό το τρίγωνο: Αιτούμαι να δεχθείς ότι αν προσθέσεις τις γωνίες του θα πάρεις άθροισμα δύο ορθών». Τα αιτήματα της γεωμετρίας, όπως και όλα αιτήματα, δια να γίνουν αποδεκτά, πρέπει να είναι εύλογα. Και όμως, υπάρχουν απόψεις, σύμφωνα με τις οποίες οι δύο προηγούμενες προτάσεις (αίτημα και θεώρημα) δύνανται να αλληλυποκατασταθούν.

Τώρα ως προς το σύνηθες “υποκατάστατο” του 5ου αιτήματος του Ευκλείδου το οποίο βλέπουμε εις τα σχολικά βιβλία και όχι μόνον:

Η συνήθης διατύπωση είναι η εξής:

«Από σημείου κειμένου εκτός ευθείας άγεται μία μόνον παράλληλος προς αυτήν.»

Αυτή η διατύπωση είναι ...“αχταρματζήδικη” διότι “κάνει αχταρμά” το «άγεται» με το «μία μόνον»:

Το ότι άγεται “μία” παράλληλος αποδεικνύεται (θα το δούμε κατωτέρω). Το ότι, αυτή που άγεται, είναι μοναδική, αυτό είναι που δεν αποδεικνύεται... (οπότε το δεχόμεθα ως αξίωμα ή, καλλίτερα, ως αίτημα).

Άρα, η διατύπωση πρέπει να είναι η εξής:

(Κατόπιν της αποδείξεως της υπάρξεως της εν λόγω παραλλήλου), αυτή, η διά σημείου εκτός ευθείας παράλληλος προς την ευθεία,είναι μοναδική.

Η “αχταρματζήδικη” διατύπωση μοιάζει σαν να θέλει να αποκλείσει την εύλογη ερώτηση:

«Μα, αφού άγεται μία, πώς δεν άγεται άλλη;...» (πράγμα που αντιβαίνει προς όλους τους ...αντιμονοπωλιακούς νόμους). Κάποιος αδιάφορος ή/και ανόητος μαθητής, ουδόλως θα προβληματισθεί. Αλλ΄ η εκπαίδευση είναι τοιουτοτρόπως (σχεδιασμένη; και) δομιμένη ώστε να βλάπτει τους ενδιαφερομένος νοήμονες: Ένας τοιούτος, ίσως να πιθανολογήσει την εξής ερμηνεία/εξήγηση της εν λόγω διατύπωσης: «Έ, εκ σημείου εκτός ευθείας άγονται πολλές ευθείες. Ε, μία από αυτές (δεν μπορεί παρά να) είναι παράλληλος...» Όμως, αυτή η ερμηνεία, είναι εντελώς εμπειρική και “δέσμια” της εποπτείας...

 

Ως προς την απόδειξη της υπάρξεως της παραλλήλου, αυτή, είναι η εξής:

Ορισμός των παραλλήλων ευθειών:

Δύο ευθείαι (α) και (β) ονομάζονται παράλληλοι αν, και μόνον αν, κείνται επί του αυτού επιπέδου (Π) και δεν έχουν κοινό σημείο.

Ας δούμε εάν μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο τέτοιων ευθειών ήτοι, αν δοθείσης μίας ευθείας (ε) και ενός σημείου Α μη κειμένου επ΄ αυτής, υπάρχει ευθεία (x) η οποία να μην έχει κοινό σημείο μετά της (ε):

Θεωρούμε δύο τυχόντα σημεία, Β και Γ, επί της (ε) και προς το μέρος της ευθείας ΑΒ προς το οποίο δεν κείται το Γ, το σημείο Χ, τέτοιο ώστε η γωνία ΒΑΧ
να είναι ίση προς την γωνία ΑΒΓ.

Η ευθεία ΑΧ είναι παράλληλος της (ε), συμφώνως προς τον ορισμό.

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι η ΑΧ τέμνει την (ε) και ότι το κοινό σημείο αυτών των δύο ευθειών είναι το Μ, θα καταλήξουμε εις άτοπον. Ιδού:

Θεωρούμε επί της (ε) και προς το μέρος του Β προς το οποίο δεν κείται το Μ, το σημείο Ν, τέτοιο ώστε ΒΝ = ΑΜ.

Τα τρίγωνα ΒΑΜ και ΑΒΝ είναι ίσα διότι έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία (την ΑΒ κοινή και την ΒΝ ίση με την ΑΜ επειδή, εμείς, την θεωρήσαμε τέτοια).

Εκ της ισότητος των τριγώνων έχουμε τις ισότητες που αναγράφονται επί της εικόνος που ακοκουθεί:

Εκ της τελευταίας ισότητος του σχήματος προκύπτει ότι τα σημεία Μ, Α και Ν κείνται επί της αυτής ευθείας, της (x). Άρα, η (x) έχει μετά της (ε) δύο κοινά σημεία, το Μ και το Ν. Επομένως, ταυτίζεται προς αυτήν και, τότε, το σημείο Α, ως κείμενο επί της (x), θα πρέπει να κείται και επί της (ε), όπερ άτοπον διότι το Α υπετέθη εκτός της (ε).

Καταλήξαμε εις άτοπον διότι υποθέσαμε ότι η (x) έχει κοινό σημείο μετά της (ε). Άρα, δεν έχει.

Επομένως, απεδείχθη η ύπαρξη της διά του Α παραλλήλου προς την (ε), συμφώνως προς τον ορισμό των παραλλήλων.

Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής:

Εάν επαναλάβουμε την αυτή διαδικασία, λαμβάνοντας, αντί του Β, ένα άλλο σημείο, Β΄,  η ευθεία (“x”) που θα “ξαναβρούμε”, θα είναι η αυτή με την (x) ή, κάποια άλλη;

Δυνάμει του αξιώματος του “ισοδυνάμου” προς το 5ον αίτημα του Ευκλείδου, διαβεβαιούμεθα ότι δεν θα είναι άλλη... Όσοι το έχουν μάθει και το έχουν συνηθίσει, το νομίζουν ως προφανές... Τί γίνεται όμως με αυτόν που το ακούει διά πρώτην φοράν; Του φαίνεται “φυσικό”; Ποίο; – Ότι, η (x), ...πρόλαβε και ...ανέλαβε τον ρόλο κατ΄ αποκλειστικότητα ή/και κατέλαβε ...την θέσιν και ότι δεν επιτρέπει σε άλλη να ...παρκάρει εκτός και αν κάτσει επάνω της... Η εμπειρία του, τον εμποδίζει να δεχθεί ότι δύο ευθείες, ληφθείσες διά διαφορετικής διαδικασίας, ταυτίζονται. Ο δε Ευκλείδης που θα μπορούσε να τον βοηθήσει έχει “εξαναγκασθεί” εις σιωπήν: Αυτός, το ξεκαθαρίζει: Θεωρεί την ευθεία ως γραμμήν και την γραμμήν ως «μήκος απλατές». Επομένως, απλατές + απλατές = απλατές. Ο μαθητής όμως διδάσκεται ότι η «ευθεία» είναι όρος ...αόριστος. Εξ αυτού όμως, δεν μπορεί να συμπεράνει και ότι, αυτή, είναι “άυλη”. Και, το ερώτημα, τίθεται εκ νέου: Η συγκεκριμένη διατύπωση (και η αποδοχή της) του φαίνεται “φυσική”; Του φαίνεται πιο “φυσική”, αυτή, από το να βλέπει δύο ευθείες την (α) και την (β) που “συγκλίνουν” και να του πεις ότι;:

«Αυτές οι ευθείες που συγκλίνουν εάν εκβληθούν θα τμηθούν προς το μέρος που συγκλίνουν.

Σύγκλιση δε, ονομάζω την κατάσταση όπου οι (α) και (β), τεμνόμενες υπό της (γ) σχηματίζουν τις γωνίες τις εντός αυτών και προς το αυτό μέρος της (γ) τέτοιες ώστε, το άθροισμά τους να είναι μικρότερο των δύο ορθών.»

Περασιά, αλφαδιά, πλάνη (υπό κατασκευήν...)

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Εις αυτή την ανάρτηση επεξηγούνται οι όροι του τίτλου της (Περασιά, αλφαδιά, πλάνη), ως απάντηση σε ένα σχόλιο-ερώτηση που έθεσε κάποιος αναγνώστης εις την ανάρτηση που ακολουθεί (όπου μπορείτε να "κλικάρετε"):

Εις την μνήμην ενός νοήμονος μαθηματικού.[Μέρος Ι, Κεφ. 1]:

Σχολιαστής: MEGLIOGIOVENTU,   November 3, 2013 at 2:14 PM

Παρότι η ολοκλήρωσή της παρούσης ανάρτησης θα καθυστερήσει, αυτή δημιουργήθηκε ώστε να αποκτήσει ηλεκτρονική διεύθυνση η οποία εμπεριέχεται εις την απάντηση που εδώθη εις τον αναγνώστη. Αυτή η απάντηση (σε επανάληψη) είναι το μόνο που παρατίθεται προς το παρόν, εδώ:

Περασιά, αλφαδιά, πλάνη...

Εδώ, θα παρατεθούν ορισμένα πράγματα, συνοπτικώς

«Περασιά», είναι η ιδιότητα τριών ή, περισσοτέρων σημείων ή, ευθειών να είναι συνευθειακά ή, η ιδιότητα τριών ή περισσοτέρων ευθειών ή, επιπέδων να είναι συνεπίπεδα.

Π.χ., τα μπαλκόνια μίας πολυκατοικίας θεωρούμενα ως ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, συνήθως είναι περασιά ως προς τα τρία στοιχεία που αναφέραμε:

Α: Ως προς τις ομόλογες κορυφές τους.

Β: Ως προς τις, ομόλογες, οριζόντιες ακμές, τις παράλληλες προς τον τοίχο.

Γ: Ως προς τις, ομόλογες, κατακόρυφες ακμές.

Εκ των Γ και Δ, έπεται ότι και οι ομόλογες έδρες είναι περασιά.

Η εκφράσεις, «είναι (ή, δεν είναι) στην περασιά του» ή, «φεύγει (ή, δεν φεύγει) από την περασιά του» είναι χαρακτηριστικές. Ειδικώς το «του» σημαίνει την υποχρέωση κάποιου στοιχείου να είναι στη θέση που του έχουμε προσδιορίσει, που του έχουμε “τάξει”.

«Αλφαδιά», είναι η ιδιότητα ν σημείων να ανήκουν εις το αυτό οριζόντιο επίπεδο.

«Πλάνη», είναι το εργαλείο ή, το μηχάνημα διά του οποίου μετατρέπουμε μία ανεπίπεδη επιφάνεια εις επίπεδη.

Πόσα κέντρα έχει ...ο κύκλος;

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Εάν σας αρέσουν τα ...λογοπαίγνια, έχουμε παρόμοια “γούστα”... Αυτό, εδώ όμως, δεν είναι λογοπαίγνιο: Είναι “παίγνιο” παρατηρητικότητος και νοήσεως:

Ας δούμε τους δύο κύκλους της εικόνος που ακολουθεί, σχεδιασμένους με το “Paint”:

1η εικών:

Δύο κύκλοι ...πολύ μικροί,

προκειμένου να φανεί

η πολύ μεγάλη διαφορά τους...

Ας δούμε, τώρα, αυτούς τους δύο κύκλους σε μία μεγέθυνση Χ8:

2α εικών:

Δύο κύκλοι ...πολύ μεγάλοι,

προκειμένου να φανεί

η πολύ μεγάλη διαφορά τους...

Η διαφορά των εν λόγω κύκλων, θα φανεί μόλις προσπαθήσουμε να βρούμε και να τοποθετήσουμε το κέντρο τους. Ο δεύτερος μας επιφυλάσσει ...μία “έκπληξη”:

3η εικών:

Ο δεύτερος κύκλος,

αντί ενός κέντρου έχει ...τέσσαρα.

Η εξήγηση είναι πολύ απλή: Οι κύκλοι είναι φτιαγμένοι με ...“pixel”, το πλήθος των οποίων θα είναι είτε περιττό ή, άρτιο. Εάν μεν είναι περιττό, δηλαδή, της μορφής 2ν+1 τότε οι άξονες συμμετρίας του κύκλου – ο οριζόντιος και ο κατακόρυφος – “αφήνουν” μισό κύκλο εκατέρωθεν αυτών. Εάν το πλήθος είναι άρτιο, δηλαδή της μορφής 2ν, δεν υπάρχει (οριζόντιος ή κατακόρυφος) άξων συμμετρίας εκτός και αν έχει πάχος δύο “pixel”. Αυτό, δεν είναι κατ΄ ανάγκην “κακό”: Αντιθέτως, είναι μία χρήσιμη ιδιότης. Εκείνο που έχει σημασία είναι ότι εάν θέλουμε να “κεντράρουμε” επακριβώς δύο κύκλους, θα πρέπει, αμφότεροι, να έχουν ή, περιττό πλήθος “pixel” ή, άρτιο.

Σημείωση:

Το θέμα αυτό, σχετίζεται με το θέμα της ανάρτησης υπό τον τίτλο: «Ορθή σχεδίαση μίας πυραμίδος.».

Σημαντική παρατήρηση – προειδοποίηση:

Όταν θέλουμε να σχεδιάσουμε με το “Paint”, ένα κύκλο πλήθος “pixel”, ν, τότε, η ένδειξη των διαστάσεων θα πρέπει να είναι «(ν+1)x(ν+1)». Π.χ., εάν η ένδειξη είναι «18x18» ο κύκλος θα έχει διαστάσεις «17x17». Το αυτό συμβαίνει και με τα τετράγωνα ή, εν γένει με τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα.

Ως προς την εύρεση του κέντρου του κύκλου, “μονού” ή, “τετραπλού”:

Η ακολουθητέα μέθοδος διαφοροποιείται αναλόγως του μεγέθους του.

Π.χ., εάν ο κύκλος είναι τόσο μικρός ώστε να τον βλέπουμε ευκρινώς σε μία μεγέθυνση (π.χ.,) Χ4, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε δύο, καθέτως, τεμνόμενες διαμέτρους του. Αυτές δεν είναι ανάγκη να είναι η οριζόντιος και η κατακόρυφος... και μάλλον, δεν πρέπει διότι, ίσως, να μη φαίνονται... Καλλίτερα είναι να πάρουμε τα σημεία εις τα οποία εμφανίζεται το πρώτο “σπάσιμο” προς τα δεξιά ή, τα αριστερά αυτών:

4η εικών:

Εύρεση του κέντρου ενός κύκλου

διά της τομής δύο διαμέτρων του.

Μία μέθοδος γενικής εφαρμογής είναι να σχεδιάσουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο και εν συνεχεία τις διαγωνίους του.

5η εικών:

Εύρεση του κέντρου ενός κύκλου

διά της τομής των διαγωνίων του τετραγώνου,

του περιγεγραμμένου περί αυτόν.

Ενίοτε, οι κύκλοι δεν είναι συμμετρικοί:

Αυτό συμβαίνει, συνήθως, όταν το πλήθος των “pixel” είναι άρτιο. Θα το δείξουμε με ορισμένα παραδείγματα:

6η εικών:

Οι κύκλοι: 13x13, 14x14, 22x22, 24x24, 30x30
...και άλλοι, πολλοί, δεν είναι συμμετρικοί.

Εδώ, εάν θέλουμε έχουμε, οπωσδήποτε, ένα κύκλο “τόσων” “pixel”, ο μόνος τρόπος είναι να “κόψουμε” ένα κατάλληλο κομμάτι αυτού, να του προσθέσουμε το συμμετρικό του και, κατόπιν, να το περιστρέψουμε. Αυτό το δείχνουμε σχηματοποιημένα και με “βήματα”, εις τον πίνακα της εικόνος που ακολουθεί:

7η εικών:

Τα τέσσαρα βήματα μετατροπής

ενός μη συμμετρικού κύκλου, εις συμμετρικόν:
1ον: Επιλογή ενός καταλλήλου ογδοημορίου.
2ον: Προσθήκη του συμμετρικού του ως προς ένα των αξόνων.
3ον: Προσθήκη του ομολόγου του προηγουμένου
εις μία στροφή μίας ορθής γωνίας.
4ον: Προσθήκη του ομολόγου του προηγουμένου
εις μία στροφή δύο ορθών γωνιών.
Το τελικό αποτέλεσμα είναι ένας κύκλος (των δοθέντων pixel), συμμετρικός.