Το 5ον αίτημα του Ευκλείδου και το “ισοδύναμό” του.

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Η ανάρτηση γίνεται εξ αφορμής ενός σχολίου που εγράφη εδώ...:
November 4, 2013 at 11:02 PM: 
Το μέρος του σχολίου που αφορά την ανάρτηση είναι το εξής:
<<
Ως προς το σημείο που γράφεις για το 5ο αίτημα του Ευκλείδη και το "ισοδύναμό" του αξίωμα, στην εικόνα 12, νομίζω ότι η ακριβής διατύπωση πρέπει να είναι " .... η (ε) είναι η μόνη ευθεία που διέρχεται απο το σημείο Μ στην οποία συμβαίνει αυτό (δηλαδή είναι παράλληλη της (δ)". Αλλά αν διατύπωθεί έτσι οπως λεώ , δεν καταλαβαίνω γιατί είναι δύσκολο να το δεχτεί κάποιος.Εμένα μου φαίνεται σωστό.
Γενικά το θέμα ισως χρειάζεται λίγο περισσότερη ανάλυση και ειδικά η φράση: "Διότι, έχει μεγάλη σημασία το τι αιτείσαι από τον άλλον να δεχθεί...:" , ωστε να αναδείξεις την διαφορά με σαφήνεια.
>>

 Κατ΄ αρχήν περί της “ισοδυναμίας” των αιτημάτων:

Δύο μαθηματικές προτάσεις, Α και Β, λέγονται ισοδύναμες όταν, η αλήθεια ή, το ψεύδος της μίας, συνεπάγεται την αλήθεια ή, το ψεύδος της άλλης. Π.χ.:

Α: κ > λ.

Β: λ < κ.

Προφανώς εάν η Α είναι αληθής τότε είναι αληθής και η Β (και, αν είναι ψευδής η Α, θα είναι ψευδής και η Β). Τότε λέμε ότι οι Α και Β είναι ισοδύναμες και γράφουμε συμβολικώς:

Α <=> Β ή/και Β <=> Α.

Εις την προκειμένη περίπτωση μπορείς ευκόλως να αντικαταστήσεις τις προτάσεις Α και Β, ή και να υποκαταστήσεις την μία διά της άλλης διότι η ισοδυναμία τους είναι προφανής.

Τί γίνεται όμως με την “ισοδυναμία” των αιτημάτων ή, των αξιωμάτων;

Και πώς αποκαλείται «ισοδυναμία» η υποκατάσταση ενός αιτήματος, Α, από ένα θεώρημα, Θ, όταν, το Θ, αποδεικνύεται δυνάμει του Α;

Π.χ., το θεώρημα, Θ, ότι το άθροισμα των γωνιών παντός τριγώνου ισούται προς δύο ορθές γωνίες, δεν μπορεί να αποδειχθεί χωρίς την χρήση του 5ου αιτήματος του Ευκλείδου... Αλλ΄ εάν δεχθούμε “αξιωματικώς” το Θ, αυτό το αίτημα αποδεικνύεται... Μάλιστα...: Το θέμα όμως είναι το ποιος θα το πιστεύσει... αν, στα “καλά-καθούμενα”, του πεις ότι:

«Βλέπεις αυτό το τρίγωνο: Αιτούμαι να δεχθείς ότι αν προσθέσεις τις γωνίες του θα πάρεις άθροισμα δύο ορθών». Τα αιτήματα της γεωμετρίας, όπως και όλα αιτήματα, δια να γίνουν αποδεκτά, πρέπει να είναι εύλογα. Και όμως, υπάρχουν απόψεις, σύμφωνα με τις οποίες οι δύο προηγούμενες προτάσεις (αίτημα και θεώρημα) δύνανται να αλληλυποκατασταθούν.

Τώρα ως προς το σύνηθες “υποκατάστατο” του 5ου αιτήματος του Ευκλείδου το οποίο βλέπουμε εις τα σχολικά βιβλία και όχι μόνον:

Η συνήθης διατύπωση είναι η εξής:

«Από σημείου κειμένου εκτός ευθείας άγεται μία μόνον παράλληλος προς αυτήν.»

Αυτή η διατύπωση είναι ...“αχταρματζήδικη” διότι “κάνει αχταρμά” το «άγεται» με το «μία μόνον»:

Το ότι άγεται “μία” παράλληλος αποδεικνύεται (θα το δούμε κατωτέρω). Το ότι, αυτή που άγεται, είναι μοναδική, αυτό είναι που δεν αποδεικνύεται... (οπότε το δεχόμεθα ως αξίωμα ή, καλλίτερα, ως αίτημα).

Άρα, η διατύπωση πρέπει να είναι η εξής:

(Κατόπιν της αποδείξεως της υπάρξεως της εν λόγω παραλλήλου), αυτή, η διά σημείου εκτός ευθείας παράλληλος προς την ευθεία,είναι μοναδική.

Η “αχταρματζήδικη” διατύπωση μοιάζει σαν να θέλει να αποκλείσει την εύλογη ερώτηση:

«Μα, αφού άγεται μία, πώς δεν άγεται άλλη;...» (πράγμα που αντιβαίνει προς όλους τους ...αντιμονοπωλιακούς νόμους). Κάποιος αδιάφορος ή/και ανόητος μαθητής, ουδόλως θα προβληματισθεί. Αλλ΄ η εκπαίδευση είναι τοιουτοτρόπως (σχεδιασμένη; και) δομιμένη ώστε να βλάπτει τους ενδιαφερομένος νοήμονες: Ένας τοιούτος, ίσως να πιθανολογήσει την εξής ερμηνεία/εξήγηση της εν λόγω διατύπωσης: «Έ, εκ σημείου εκτός ευθείας άγονται πολλές ευθείες. Ε, μία από αυτές (δεν μπορεί παρά να) είναι παράλληλος...» Όμως, αυτή η ερμηνεία, είναι εντελώς εμπειρική και “δέσμια” της εποπτείας...

 

Ως προς την απόδειξη της υπάρξεως της παραλλήλου, αυτή, είναι η εξής:

Ορισμός των παραλλήλων ευθειών:

Δύο ευθείαι (α) και (β) ονομάζονται παράλληλοι αν, και μόνον αν, κείνται επί του αυτού επιπέδου (Π) και δεν έχουν κοινό σημείο.

Ας δούμε εάν μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο τέτοιων ευθειών ήτοι, αν δοθείσης μίας ευθείας (ε) και ενός σημείου Α μη κειμένου επ΄ αυτής, υπάρχει ευθεία (x) η οποία να μην έχει κοινό σημείο μετά της (ε):

Θεωρούμε δύο τυχόντα σημεία, Β και Γ, επί της (ε) και προς το μέρος της ευθείας ΑΒ προς το οποίο δεν κείται το Γ, το σημείο Χ, τέτοιο ώστε η γωνία ΒΑΧ
να είναι ίση προς την γωνία ΑΒΓ.

Η ευθεία ΑΧ είναι παράλληλος της (ε), συμφώνως προς τον ορισμό.

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι η ΑΧ τέμνει την (ε) και ότι το κοινό σημείο αυτών των δύο ευθειών είναι το Μ, θα καταλήξουμε εις άτοπον. Ιδού:

Θεωρούμε επί της (ε) και προς το μέρος του Β προς το οποίο δεν κείται το Μ, το σημείο Ν, τέτοιο ώστε ΒΝ = ΑΜ.

Τα τρίγωνα ΒΑΜ και ΑΒΝ είναι ίσα διότι έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία (την ΑΒ κοινή και την ΒΝ ίση με την ΑΜ επειδή, εμείς, την θεωρήσαμε τέτοια).

Εκ της ισότητος των τριγώνων έχουμε τις ισότητες που αναγράφονται επί της εικόνος που ακοκουθεί:

Εκ της τελευταίας ισότητος του σχήματος προκύπτει ότι τα σημεία Μ, Α και Ν κείνται επί της αυτής ευθείας, της (x). Άρα, η (x) έχει μετά της (ε) δύο κοινά σημεία, το Μ και το Ν. Επομένως, ταυτίζεται προς αυτήν και, τότε, το σημείο Α, ως κείμενο επί της (x), θα πρέπει να κείται και επί της (ε), όπερ άτοπον διότι το Α υπετέθη εκτός της (ε).

Καταλήξαμε εις άτοπον διότι υποθέσαμε ότι η (x) έχει κοινό σημείο μετά της (ε). Άρα, δεν έχει.

Επομένως, απεδείχθη η ύπαρξη της διά του Α παραλλήλου προς την (ε), συμφώνως προς τον ορισμό των παραλλήλων.

Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής:

Εάν επαναλάβουμε την αυτή διαδικασία, λαμβάνοντας, αντί του Β, ένα άλλο σημείο, Β΄,  η ευθεία (“x”) που θα “ξαναβρούμε”, θα είναι η αυτή με την (x) ή, κάποια άλλη;

Δυνάμει του αξιώματος του “ισοδυνάμου” προς το 5ον αίτημα του Ευκλείδου, διαβεβαιούμεθα ότι δεν θα είναι άλλη... Όσοι το έχουν μάθει και το έχουν συνηθίσει, το νομίζουν ως προφανές... Τί γίνεται όμως με αυτόν που το ακούει διά πρώτην φοράν; Του φαίνεται “φυσικό”; Ποίο; – Ότι, η (x), ...πρόλαβε και ...ανέλαβε τον ρόλο κατ΄ αποκλειστικότητα ή/και κατέλαβε ...την θέσιν και ότι δεν επιτρέπει σε άλλη να ...παρκάρει εκτός και αν κάτσει επάνω της... Η εμπειρία του, τον εμποδίζει να δεχθεί ότι δύο ευθείες, ληφθείσες διά διαφορετικής διαδικασίας, ταυτίζονται. Ο δε Ευκλείδης που θα μπορούσε να τον βοηθήσει έχει “εξαναγκασθεί” εις σιωπήν: Αυτός, το ξεκαθαρίζει: Θεωρεί την ευθεία ως γραμμήν και την γραμμήν ως «μήκος απλατές». Επομένως, απλατές + απλατές = απλατές. Ο μαθητής όμως διδάσκεται ότι η «ευθεία» είναι όρος ...αόριστος. Εξ αυτού όμως, δεν μπορεί να συμπεράνει και ότι, αυτή, είναι “άυλη”. Και, το ερώτημα, τίθεται εκ νέου: Η συγκεκριμένη διατύπωση (και η αποδοχή της) του φαίνεται “φυσική”; Του φαίνεται πιο “φυσική”, αυτή, από το να βλέπει δύο ευθείες την (α) και την (β) που “συγκλίνουν” και να του πεις ότι;:

«Αυτές οι ευθείες που συγκλίνουν εάν εκβληθούν θα τμηθούν προς το μέρος που συγκλίνουν.

Σύγκλιση δε, ονομάζω την κατάσταση όπου οι (α) και (β), τεμνόμενες υπό της (γ) σχηματίζουν τις γωνίες τις εντός αυτών και προς το αυτό μέρος της (γ) τέτοιες ώστε, το άθροισμά τους να είναι μικρότερο των δύο ορθών.»