Αρμονική Σημειοσειρά και Θεωρήματα των Διχοτόμων. (υπό κατασκευήν...)

Μετάβαση εις τα σχόλια:

Αρχικό...

Τελικό...

Η πρωταρχική ανάγκη δια την παρούσα ανάρτηση ήταν να αποτελέσει "παράρτημα" (κατά κάποιον τρόπον) της ανάρτησης υπό τον τίτλο:
«Είτε αγνοείς το θεώρημα των διχοτόμων ή, δεν γνωρίζεις πως να τα χρησιμοποιείς...»
Προτιμήθηκε όμως μία αυτόνομη και συνολικότερη παρουσίαση... πράγμα που απαιτεί περισσότερο χρόνο...
Προς το παρόν (σε σχέση προς την πρωταρχική ανάγκη) παρατίθενται, συνοπτικώς τα ακόλουθα:

Περί αρμονικής διαιρεσεως τμήματος ευθείας ΑΒ:
Αποδεικνυεται ότι, δοθέντος του ΑΒ και δύο τμημάτων μ και ν υπάρχει ένα σημείον Λ κείμενο μεταξύ των Α και Β, τέτοιο ώστε ΛΑ/ΛΒ = μ/ν και ένα σημείο Λ΄, μη κείμενο μεταξύ των Α και Β, τέτοιο ώστε ΛΆ/Λ΄Β = μ/ν.
Διά την απόδειξιν θεωρούμε δύο τυχούσες, παράλληλες ευθείες (μ) και (ν), διά των Α και Β αντιστοίχως και τα εξής σημεία επ΄ αυτών:
Μ₁ και Μ₂ επί της (μ), εκατέρωθεν του Α και τέτοια ώστε: ΑΜ₁ = ΑΜ₂ .= μ. 
Ν₁ και Ν₂ επί της (ν), εκατέρωθεν του Β και τέτοια ώστε: ΒΝ₁ = ΒΝ₂ .= ν.
Έστω ότι τα Μ₁ και Ν₁ κείνται επί τα αυτά μέρη της ΑΒ.
Τότε:
Οι ευθείες Μ₁Ν₂ και Μ₂Ν₁ τέμνουν την ευθεία ΑΒ εις το Λ και:
Οι ευθείες Μ₁Ν₁ και Μ₂Ν₂ τέμνουν την ευθεία ΑΒ εις το Λ΄.
Θα παραθέσουμε ένα σχήμα:

1η εικών:

Αρμονική διαίρεση του ΑΒ.

Περί της εν χρήσει ορολογίας:
Λέγομεν ότι:
Τα σημεία Λ και Λ΄ χωρίζουν αρμονικώς το τμήμα ΑΒ.
Τα σημεία Α, Β, Λ, Λ΄αποτελούν αρμονικόν σύνολον (αρμονική σημειοσειρά, αρμονική τετράδα κτλ,).
Τα σημεία Λ και Λ΄ είναι συζυγή αλλήλων ως προς τα Α και Β.

Σημείωση:
Ενδιαφέρον παρουσιάζει μία συγκεκριμένη διαίρεση του ΑΒ, εκείνη διά την οποία ΑΛ/ΛΒ = ΛΒ/ΑΒ (η επονομαζομένη και ..."χρυσή τομή"). Περί αυτής (και των ..."ιδεολογικών" παρενεργειών της) θα ομιλήσουμε προσεχώς - εδώ ή, ίσως σε κάποια άλλη ανάρτηση. Εν τω μεταξύ, οι αναγνώστες μπορούν να εύρουν ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία, εδώ...

Ας συνεχίσουμε με κάτι που εκκρεμεί:

Ο φίλος MEGLIOGIOVENTU , σε ένα σχόλιό του, γράφει (μεταξύ άλλων) και το εξής:

«Τέλοςθα ήθελα να δω και την άλλη απόδειξη,αυτή που είχε αρχικά στο μυαλό του οξυλουργός (με το θεώρημα της εσωτερικήςδιχοτόμου).»

...

Η άλλη απόδειξη:

Ο ξυλουργός, εν αντιθέσει προς τον συνάδελφό του, είχε ακούσει (“κάποτε”) ότι:

Οι διχοτόμοι των γωνιών παντός τριγώνου, τέμνουν τις πλευρές που είναι απέναντι από τις γωνίες που διχοτομούν εις μέρη ανάλογα των προσκειμένων πλευρών (βλέπε επόμενο σχήμα).

Αυτός, λοιπόν, έφτιαξε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και την ΑΔ, διχοτόμο της γωνίας ΒΑΓ και, ...το κοιτούσε.

2α εικών:

Με το μέτρημα, ...βγαίνει.

Αλλά, πώς αποδεικνύεται;

Ταυτοχρόνως, εσκέπτετο:

«Πού έχω δει, εγώ, να υπάρχουν αναλογίες;... Πώς προκύπτουν αυτές;»

Προφανώς, αυτό συμβαίνει όταν έχουμε όμοια τρίγωνα – πράγμα που δεν έχει διαφύγει της προσοχής του...

Αφού, λοιπόν, έχει ενώπιόν του δύο γωνίες ίσες, τις ΒΑΔ και ΔΑΓ και αφού αυτές έχουν κοινή πλευρά την ΑΔ και αφού, οι ΑΒ και ΑΓ, είναι όροι του πρώτου λόγου της αποδεικτέας αναλογίας, σκέπτεται να θεωρήσει τις διά των Β και Γ καθέτους επί την ΑΔ, τις ΒΔ_Β και ΓΔ_Γ, αντιστοίχως, ώστε να σχηματιστούν δύο όμοια τρίγωνα, τα ΑΒΔ_Β και ΑΓΔ_Γ τα οποία να έχουν τις ΑΒ και ΑΓ (το λόγο των οποίων εξετάζει) ως πλευρές.

3η εικών:

Τα τρίγωνα ΑΒΔ_Β και ΑΓΔ_Γ είναι, προφανώς όμοια.

Άρα: ΑΒ/ΑΓ = ΑΔ_Β/ΑΔ_Γ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Τώρα, βλέπει πως, οι ΒΔ_Β και ΓΔ_Γ, είναι παράλληλες (επειδή είναι κάθετες επί την αυτήν ευθεία, την ΑΔ). 

 

4η εικών:

Τα τρίγωνα ΒΔ_ΒΔ και ΓΔ_ΒΔ είναι, προφανώς όμοια.

Άρα: ΒΔ/ΔΓ = ΔΔ_Β/ΔΔ_Γ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ.

Επομένως, τα τρίγωνα ΒΔ_ΒΔ και ΓΔ_ΓΔ είναι όμοια και έκαστον εξ αυτών έχει κοινή πλευρά με τα προηγούμενα όμοια τρίγωνα, τα , ήτοι:

Η ΒΔ_Β, κοινή πλευρά των τριγώνων ΑΒΔ_Β και ΒΔ_ΒΔ.

Η ΓΔ_Γ, κοινή πλευρά των τριγώνων ΓΒΔ_Γ και ΓΔ_ΒΔ.

Γράφει:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ (1).

ΑΔ/ΔΓ = ΒΔ_Β/ΓΔ_Γ (2).

Επειδή τα δεύτερα μέρη των (1) και (2) είναι ίσα, είναι και τα πρώτα, ήτοι:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ/ΔΓ.

Όπερ έδει δείξαι.

...

Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ισχύει και το:

ΑΒ/ΑΓ = ΒΔ΄/ΔΓ΄, όπου Δ΄ το επί της ΒΓ σημείο της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του τριγώνου ΑΒΓ. Ας δούμε και τις δύο αποδείξεις σε ένα σχήμα (το προηγούμενο):

5η εικών:

Επειδή έχομε ΒΔ/ΔΓ = ΒΔ΄/Δ΄Γ

(διότι αμφότεροι οι λόγοι ισούνται προς ΑΒ/ΑΓ)

τα Δ και Δ΄ είναι αρμονικά συζυγή αλλήλων ως προς τα Β και Γ.

Τοιουτοτρόπως αποδεικνύεται ότι τα σημεία Δ και Δ΄ είναι αρμονικά συζυγή αλλήλων ως προς τα Β και Γ. (Εκκρεμεί, εισέτι ο σχετικός ορισμός και η θεωρία – εις την αρχήν της αναρτήσεως.)

Παρατήρηση:

Εκάστη κάθετος επί την διχοτόμο μίας γωνίας είναι παράλληλος προς την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας αυτής.

Εκάστη κάθετος επί την εξωτερική διχοτόμο μίας γωνίας είναι παράλληλος προς την διχοτόμο της γωνίας αυτής.

Εάν θεωρήσουμε το σημείο Ε εις το οποίο η ΒΔΒ τέμνει την πλευρά ΑΓ ή, το σημείο Ζ εις το οποίο την τέμνει η ΒΔ΄Β, θα έχουμε την απόδειξη που συνήθως υπάρχει εις τα βιβλία και δη εις το σχολικό. Εις το σχολικό όμως, υπάρχει μία ...ιδιαιτερότητα: Χρησιμοποιείται ...εσφαλμένο σχήμα.

Περί της ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων:

Είναι γνωστές οι απόψεις του ξυλουργού (του γνωστού αφηγήματος) περί της απαιτουμένης ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων: «Τα σχήματα», όπως λέγει, «διά τον γεωμέτρη, είναι όπως το εργαλεία διά τον μάστορα... Δεν είναι καλός μάστορας αυτός που (π.χ.) χρησιμοποιεί καλέμι εκεί που πρέπει να χρησιμοποιήσει σκαρπέλο...». Αυτά διαλαμβάνονται, κυρίως, από του 5ου έως και του 10ου, κεφαλαίου (βλέπε τα Περιεχόμενα, εδώ), ιδιαιτέρως δε εις το κεφάλαιο υπό τον τίτλο: «9.Υποχρεωτική και “προαιρετική”,ξυλουργική και μαθηματική ακρίβεια τωνσχημάτων.»

Ας παραθέσουμε μόνο δύο φράσεις από μία στιχομυθία:

«Αυτά», έκαμε κάπως ενοχλημένη, η καθηγήτρια, «είναι προβλήματα σχεδιαστικά – όχι θεωρητικά...»

«Ομολογώ», λέγει ο ξυλουργός «πως δεν κατανοώ την διαφορά: Δηλαδή, η σχεδίαση, είναι πράξη “αθεώρητη”; Ή, η θεωρία, (μπορεί να) είναι μία διαδικασία, σχεδιαστικώς, ανακριβής;»

Κτλ...

Εδώ, θα ασχοληθούμε με την άποψη του ξυλουργού περί της επιστημονικής/μαθησιακής αξίας που έχει η ακριβής σχεδίαση:

Ας αρχίσουμε από το σχήμα του σχολικού βιβλίου (σ. 159) οι σελίδες του οποίου γεμίζουν από ...κενά: Μέσα στα κενά υπάρχου πλαίσια και, μέσα στα πλαίσια σχήματα. Τοιουτοτρόπως, γεμίζουν οι σελίδες από κενά... και το βιβλίο γίνεται ογκώδες... Είναι αυτό που λέμε: «Αραία-αραία, να φαινόμαστε καμμιά σαρανταρέα...» (Τα κενά υποκαθιστούν και δικαιολογούν την έλλειψη της ύλης.) Αλλά, πως να χωρέσει μέσα σε ένα “πλαισιάκι” ένα σχήμα που ...«η τύχη τό 'φερε» και, διά να γίνει σωστό, πρέπει να γίνει και ...“μακρυνάρι” ή, “πατικωμένο”; Και αυτό το “πατικωμένο” είναι άσχημο – εάν μπορούμε να πούμε, «άσχημο», ένα ορθό σχήμα και νομίσουμε, ως “όμορφο”, ένα εσφαλμένο. Αλλά, αν θέλει κανείς, τα σχήματά του να ομοιάζουν όπως εκείνα που υπάρχουν στα “σοβαρά” βιβλία και δεν γνωρίζει τον τρόπο... κοιτάζει το σχήμα του και λέγει: «ας το “κλέψουμε” λιγάκι» (έννοια μαστορική, που όταν χρησιμοποιείται από άτεχνους έχουμε αποτελέσματα όπως αυτό της εικόνος που ακολουθεί):

6η εικών:

Ερώτηση: Μπορούμε να έχουμε ένα σχήμα:

Ακριβές, όπως το κάτω αλλ΄, όχι “πατικωμένο”;

“Μαζεμένο” όπως το επάνω αλλ΄ όχι εσφαλμένο;

(Το τρίγωνο ΑΒΖ ...δεν μοιάζει και πολύ, με ισοσκελές...)

Η επιστημονική/μαθησιακή λειτουργία της ορθής σχεδίασης:

Δεν θα αναπτύξουμε (κάποια) θεωρία αλλά, θα την εφαρμόσουμε επί του συγκεκριμένου θέματος:

Σημείωση:

Θα χρησιμοποιηθούν και όροι μαθηματικώς “αδόκιμοι”, καθόσον, δεν υπάρχουν εισέτι(;) δόκιμοι όροι διά τις ενέργειες εις τις οποίες θα προβούμε:

Ο ευκολότερος τρόπος δια να γίνει ένα ακριβές σχήμα διά του οποίου να αποδεικνύεται το θεώρημα (ή, τα θεωρήματα) των διχοτόμων είναι ο εξής:

1ον: Σχεδιάζουμε δύο ευθείες ΑΔ και ΑΔ΄, καθέτους προς αλλήλας και τις θεωρούμε ως διχοτόμους (εσωτερική και εξωτερική, αντιστοίχως) της γωνίας Α, τριγώνου ΑΒΓ.

2ον: Ορίζουμε μία ευθεία ΑΓ΄, διερχομένη διά του Α και δι΄ ενός τυχόντος σημείου Γ΄.

3ον: Ορίζουμε την ευθεία ΑΒ΄, συμμετρική της ΑΓ΄ ως προς την ΑΔ.

4ον: Διά παν σημείο Β της ΑΒ΄ και διά παν σημείο Γ της ΑΓ΄, ορίζεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ το οποίο έχει την ΑΔ ως διχοτόμο της γωνίας Α και την ΑΔ΄ ως εξωτερική διχοτόμο της γωνίας Α.

7η εικών:

Τα τέσσαρα βήματα της κατασκευής του σχήματος:

Τρίγωνο ΑΒΓ μετά των διχοτόμων του ΑΔ και ΑΔ΄.

Το Γ΄ (άρα και την ΑΓ΄) το επιλέγουμε κατά βούλησιν.

Το Β΄ είναι υποχρεωτικό (συμμετρικό του Γ΄ ως προς την ΑΔ).

Τα Β και Γ, τα επιλέγουμε κατά βούλησιν.

Τώρα ας δούμε κάτι πιο σύνθετο:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, το ΚΛΜ΄Ν΄ (εικών που ακολουθεί) και ότι ΜΕΣΑ σε αυτό θα πρέπει ΝΑ ΧΩΡΕΣΕΙ, “ΙΣΑ-ΙΣΑ”, το σχήμα του εν λόγω θεωρήματος. Και έστω πως το μέρος της ευθείας ΑΓ, του τριγώνου ΑΒΓ το κείμενο προς το μέρος του Α προς το οποίο δεν κείται το Γ θα πρέπει να είναι ΑΓ/2. Δηλαδή, το λοιπό σχήμα ΘΑ ΧΩΡΑΕΙ “ΙΣΑ-ΙΣΑ” σε ένα ορθογώνιο, το ΚΛΜΝ, το ύψος του οποίου θα είναι τα 2/3 του δοθέντος.

8η εικών:

Όταν το Χ “κινείται” επί της ΜΝ,

το Α “κινείται” επί μίας παραλλήλου της.

Ας δούμε πώς διαμορφώνεται το πρόβλημα (επόμενο σχήμα):

• Η κορυφή Α του ΑΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΜΝ.
• Η κορυφή Γ του ΑΒΓ θα ταυτίζεται με την κορυφή Λ του ορθογωνίου.
• Το σημείο Δ΄, τομή της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας Α του ΑΒΓ μετά της ΒΓ θα ταυτίζεται με την κορυφή Κ του ορθογωνίου.
• Η κορυφή Β του ΑΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΚΛ.
• Το σημείο Δ, τομή της διχοτόμου της γωνίας Α του ΑΒΓ μετά της ΒΓ θα είναι “κάπου”, επάνω στη ΚΛ. –Χμμμ, αλλά όχι “κάπου”, εφ΄ όλης της ΚΛ: Θα κείται μεταξύ του Κ΄ και του Λ, όπου Κ΄ το αντιδιαμετρικό του Κ ως προς ένα κύκλο (Ο) που εφάπτεται της ΜΝ.
• Το Α, με την σειρά του, θα ανήκει σε ένα κύκλο (Ω) το κέντρο του οποίου θα κείται επί της ΚΛ, θα διέρχεται διά του Κ και θα είναι μεγαλύτερος ή, ίσος του (Ο) και μικρότερος του κύκλου διαμέτρου ΚΛ. Αυτό συμβαίνει διότι το Α είναι ένα σημείο από το οποίο το τμήμα Δ΄Δ φαίνεται υπό γωνίαν ορθήν (αφού οι διχοτόμοι είναι κάθετοι προς αλλήλας). Και έστω πως ο κύκλος, αυτός, τέμνει την ΚΛ εις το μέσον του Κ΄Λ, το Δ.
  
  

9η εικών:

Από την στιγμή που θα επιλέξουμε τον κύκλο (Ω),

επί του οποίου κείται η κορυφή Α,... «ο κύβος ερίφθη»

(...μέχρι την επομένη επιλογή κύκλου – εάν απαιτηθεί).

10η εικών:

Η πλευρά ΑΒ του τριγώνου είναι

η συμμετρική της ΑΓ, ως προς την ΑΔ.

Κατόπιν όλων αυτών, ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα δύο διαδικασιών. Μίας αμέθοδης και μίας μεθοδικής:

11η εικών:

Τα αποτελέσματα δύο διαδικασιών:

Μίας αμέθοδης και μίας μεθοδικής.

Σχόλιο:

Ο τρόπος που χειριστήκαμε το θέμα είναι (παρ΄)όμοιος προς αυτόν διά του οποίου χειριζόμαστε κάθε γεωμετρική κατασκευή, πράγμα που χρειάζεται πολλές φορές, προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα καλό γεωμετρικό σχήμα. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η γεωμετρική κατασκευή αφορούσε την εγγραφή ενός σχήματος εντός ενός άλλου. Εν προκειμένω, είχαμε άπειρες λύσεις (εξαρτώμενες από την επιλογή του κύκλου (Ω)). Αυτό θα μπορούσε να είχε εκλείψει εάν είχαμε θέσει μία επί πλέον προϋπόθεση διά το σχήμα, λόγου χάριν, μία των γωνιών του τριγώνου να ήταν ίση προς μία δοθείσα γωνία φ (παραλείπεται η εξέταση).